Determine f^prime(x) supondo g e h deriváveis e f(x)=(x h(x))^3g(x), g(x) ? 0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = (x,h(x))^3g(x), onde g e h são funções deriváveis e g(x) neq 0. Vamos usar as regras do quociente, da cadeia e do produto para resolver.

Passo 2

Identificamos f(x) como quociente de duas funções: u(x) = (x,h(x))^3 e v(x) = g(x). Pela regra do quociente, temos
f'(x)=v(x),u'(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=(w(x))^3 com w(x)=x,h(x), aplicamos a regra da cadeia e a do produto:
u'(x)=3,[w(x)]^2cdot w'(x),
e
w'(x)=ddx[x,h(x)] = h(x) + x,h'(x)

Passo 4

Substituímos u'(x) e v'(x)=g'(x) na fórmula do quociente e obtemos
f'(x)=g(x)cdotl[3(x,h(x))^2(h(x)+x,h'(x))r] - (x,h(x))^3,g'(x)[g(x)]^2

Resposta

f'(x)=3,g(x),(x,h(x))^2,(h(x)+x,h'(x)) - (x,h(x))^3,g'(x)[g(x)]^2

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