Em cada item, use derivação implícita para determinar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
(b)
.
9
Em cada item, verifique que a função
é solução da equação diferencial parcial.
(a)
.
(b)
9
Em cada item, verifique que a função
(a)
Passo 1
No primeiro item, a gente tem a equação implícita
e quer encontrar
e
. Vamos usar derivação implícita, isto é, diferenciar ambos os lados mantendo
e aplicando a regra da cadeia quando aparecer
.
Passo 2
Para achar
, diferencio
em relação a
, tratando
como constante:
No primeiro termo,
é constante, então $$
y \frac{\partial z}{\partial x}
\ln y$$
No lado direito, usando regra de cadeia: $$
2z \frac{\partial z}{\partial x}$$
Reunindo tudo: $$
y \frac{\partial z}{\partial x} + \ln y = 2z \frac{\partial z}{\partial x}.$$
Isolando
: $$
(y - 2z) \frac{\partial z}{\partial x} = -\ln y$$
Portanto: $$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\ln y}{y - 2z}.$$
Passo 3
Agora
. Diferencio
em relação a
, desta vez
é constante:
No primeiro termo uso o produto:
No segundo,
é constante e
dá
. No lado direito, de novo: $$
2z \frac{\partial z}{\partial y}.$$
Montando: $$
z + y \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{x}{y} = 2z \frac{\partial z}{\partial y}.$$
Isolando
: $$
(y - 2z) \frac{\partial z}{\partial y} = -z - \frac{x}{y}$$
Logo: $$
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z + x/y}{y - 2z}.$$
Passo 4
No segundo item, queremos mostrar que
satisfaz a equação de Laplace:
Calculo primeira e segunda derivada em
:
Em
:
Somando as segundas derivadas: $$
2 + (-2) = 0,$$
o que coincide exatamente com o lado esquerdo da equação de Laplace. Portanto, é solução.
o que coincide exatamente com o lado esquerdo da equação de Laplace. Portanto,
Resposta
Para (b):
Para (9a):
Verifica-se que
e
, logo
satisfaz
.
Para (9a):
Verifica-se que