Em cada item, use derivação implícita para determinar as derivadas parciais de z em relação a x e y.
(b) y z+x ln y=z^2.
9
Em cada item, verifique que a função z é solução da equação diferencial parcial.
(a) partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0, z=x^2-y^2.

Passo 1

No primeiro item, a gente tem a equação implícita y z + x ln y = z^2 e quer encontrar partial zpartial x e partial zpartial y. Vamos usar derivação implícita, isto é, diferenciar ambos os lados mantendo z=z(x,y) e aplicando a regra da cadeia quando aparecer z.

Passo 2

Para achar partial zpartial x, diferencio y z + x ln y = z^2 em relação a x, tratando y como constante:
partialpartial x(y z) + partialpartial x(x ln y) = partialpartial x(z^2)
No primeiro termo, y é constante, então $$
y \frac{\partial z}{\partial x} y partial zpartial xéã
\ln y$$
No lado direito, usando regra de cadeia: $$
2z \frac{\partial z}{\partial x}$$
Reunindo tudo: $$
y \frac{\partial z}{\partial x} + \ln y = 2z \frac{\partial z}{\partial x}.$$
Isolando ln y: $$
(y - 2z) \frac{\partial z}{\partial x} = -\ln y$$
Portanto: $$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\ln y}{y - 2z}.$$

Passo 3

Agora partial zpartial y. Diferencio y z + x ln y = z^2 em relação a y, desta vez x é constante:
partialpartial y(y z) + partialpartial y(x ln y) = partialpartial y(z^2)
No primeiro termo uso o produto: partialpartial y(y)cdot z + y partial zpartial y = z + y partial zpartial y
No segundo, x é constante e ln y xcdot(1/y). No lado direito, de novo: $$
2z \frac{\partial z}{\partial y}.$$
Montando: $$
z + y \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{x}{y} = 2z \frac{\partial z}{\partial y}.$$
Isolando 2z partial zpartial y: $$
(y - 2z) \frac{\partial z}{\partial y} = -z - \frac{x}{y}$$
Logo: $$
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z + x/y}{y - 2z}.$$

Passo 4

No segundo item, queremos mostrar que z(x,y)=x^2 - y^2 satisfaz a equação de Laplace:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0
Calculo primeira e segunda derivada em x: partial zpartial x = 2x, partial^2 zpartial x^2 = 2
Em y: partial zpartial y = -2y, partial^2 zpartial y^2 = -2
Somando as segundas derivadas: $$
2 + (-2) = 0,$$
o que coincide exatamente com o lado esquerdo da equação de Laplace. Portanto, 2 + (-2) = 0, é solução.

Resposta

Para (b):
partial zpartial x = -ln yy - 2z,
partial zpartial y = -z + x/yy - 2z
Para (9a):
Verifica-se que partial^2 zpartial x^2 = 2, partial^2 zpartial y^2 = -2, e 2 + (-2) = 0, logo z=x^2 - y^2 satisfaz zxx + zyy = 0.

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