Em cada item, use a regra da cadeia para calcular d f / d t (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de t ).
© f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2, x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^3.
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Em cada item, use a regra da cadeia para calcular partial f / partial u e partial f / partial v (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de u e v ).
(a) f(x, y)=(x-y)^5, x(u, v)=u^2 v, y(u, v)=u v^2.

Passo 1

Vamos resolver dois problemas usando a regra da cadeia: um para derivada total em função de t e outro para derivadas parciais em função de u e v.

Passo 2

Recordando a regra da cadeia para derivada total de f(x,y,z):
dfdt=partial fpartial xdxdt+partial fpartial ydydt+partial fpartial zdzdt
Isso vale sempre que x,y,z dependem de t.

Passo 3

Para f(x,y,z)=\sqrt{x2+y2+z^2} calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=xraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial y=yraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial z=zraizx^2+y^2+z^2

Passo 4

As funções x,y,z de t são x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^3, logo:
dxdt=1, dydt=2t, dzdt=3t^2
Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
dfdt=xraizx^2+y^2+z^2cdot1+yraizx^2+y^2+z^2cdot2t+zraizx^2+y^2+z^2cdot3t^2

Passo 5

Simplificando e, se quisermos, substituindo x=t, y=t^2, z=t^3, obtemos:
dfdt=t+2t^3+3t^5raizt^2+t^4+t^6

Passo 6

Agora o item (a): f(x,y)=(x-y)^5 com x(u,v)=u^2v e y(u,v)=uv^2. A regra da cadeia para parciais é
partial fpartial u=fx,xu+fy,yu, partial fpartial v=fx,xv+fy,yv

Passo 7

Calculamos primeiro f_x e f_y:
fx=5(x-y)^4, fy=-5(x-y)^4
E as derivadas de x(u,v),y(u,v):
xu=2uv, xv=u^2, yu=v^2, yv=2uv

Passo 8

Substituindo na regra da cadeia:
partial fpartial u=5(x-y)^4,(2uv)-5(x-y)^4,(v^2) =5(x-y)^4,(2uv-v^2),
partial fpartial v=5(x-y)^4,(u^2)-5(x-y)^4,(2uv) =5(x-y)^4,(u^2-2uv)

Resposta

Para ©:
$$\frac{df}{dt}=\frac{t+2t3+3t5}{\sqrt{t2+t4+t^6}}.
dfdt=t+2t^3+3t^5raizt^2+t^4+t^6
\frac{\partial f}{\partial u}=5,(x-y)4,(2uv-v2),
\qquad
\frac{\partial f}{\partial v}=5,(x-y)4,(u2-2uv).
$$

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