Em cada item, use a regra da cadeia para calcular
(escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de
).
©
.
7
Em cada item, use a regra da cadeia para calcular
e
(escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de
e
).
(a)
.
©
7
Em cada item, use a regra da cadeia para calcular
(a)
Passo 1
Vamos resolver dois problemas usando a regra da cadeia: um para derivada total em função de t e outro para derivadas parciais em função de u e v.
Passo 2
Recordando a regra da cadeia para derivada total de f(x,y,z):
Isso vale sempre que x,y,z dependem de t.
Passo 3
Para f(x,y,z)=\sqrt{x2+y2+z^2} calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
As funções x,y,z de t são x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^3, logo:
Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 5
Simplificando e, se quisermos, substituindo x=t, y=t^2, z=t^3, obtemos:
Passo 6
Agora o item (a): f(x,y)=(x-y)^5 com x(u,v)=u^2v e y(u,v)=uv^2. A regra da cadeia para parciais é
Passo 7
Calculamos primeiro f_x e f_y:
E as derivadas de x(u,v),y(u,v):
Passo 8
Substituindo na regra da cadeia:
Resposta
Para ©:
$$\frac{df}{dt}=\frac{t+2t3+3t5}{\sqrt{t2+t4+t^6}}.
\frac{\partial f}{\partial u}=5,(x-y)4,(2uv-v2),
\qquad
\frac{\partial f}{\partial v}=5,(x-y)4,(u2-2uv).
\qquad
\frac{\partial f}{\partial v}=5,(x-y)4,(u2-2uv).
$$