Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(d) f(x, y, z)=x y^2 e^-x z, P=(1,-1,0).

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar as derivadas parciais da função no ponto . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis. Vamos calcular as derivadas parciais em relação a , e uma por uma.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = y^2 e^-x z + x y^2 cdot (-z) e^-x z em relação a partial fpartial x = y^2 e^-x z (1 - x z) , ou seja, . Para isso, tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
A função é .
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos avaliar partial fpartial x = (-1)^2 e^-1 cdot 0 (1 - 1 cdot 0) = 1 cdot 1 cdot 1 = 1 no ponto .
Substituindo , e :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = 2x y e^-x z em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
A função é .
Derivando em relação a :

Passo 5

Avaliando partial fpartial y = 2 cdot 1 cdot (-1) cdot e^-1 cdot 0 = 2 cdot (-1) cdot 1 = -2 no ponto :
Substituindo , e :

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial z = x y^2 cdot (-x) e^-x z = -x^2 y^2 e^-x z em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
A função é .
Derivando em relação a :

Passo 7

Avaliando partial fpartial z = -1^2 cdot (-1)^2 cdot e^-1 cdot 0 = -1 cdot 1 cdot 1 = -1 no ponto :
Substituindo , e :

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 1, partial fpartial y = -2, partial fpartial z = -1 no ponto são:

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