Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(b) f(x, y)=x^2 y-3 y^4, P=(1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função no ponto . Derivadas parciais são como as derivadas normais, mas a gente foca em uma variável de cada vez enquanto mantém a outra constante. Vamos precisar calcular e e depois avaliar essas derivadas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = x^2 y - 3 y^4 em relação a partial fpartial x = 2x y , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é (porque é constante).
  • A derivada de em relação a é 0, já que não há nesse termo.
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = x^2 y - 3 y^4 em relação a partial fpartial y = x^2 - 12 y^3 , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
A função novamente:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto partial fpartial xg|(1, -1) = 2 times 1 times (-1) = -2 .
Primeiro, para partial fpartial yg|(1, -1) = 1^2 - 12 times (-1)^3 = 1 - 12 times (-1) = 1 + 12 = 13 :
Segundo, para :

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial xg|(1, -1) = -2 no ponto partial fpartial yg|(1, -1) = 13 são:

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