Resolva o seguinte problema de valor inicial:
c y^prime(t)+y(t)=f(t), y(0)=5 onde f(t)=ccc 0 & sie & 0 <= t= pi

Passo 1

O problema dado é uma EDO linear de primeira ordem com termo não homogêneo definido por partes: temos
y'(t)+y(t)=f(t), y(0)=5,
onde
f(t)=0,&0<= t=pi
Para resolver vamos usar fator integrante em cada intervalo e impor continuidade de y em t=\pi.

Passo 2

No intervalo 0\le t<\pi temos f(t)=0, então a equação fica
y'+y=0
Essa é a equação homogênea cuja solução geral é
$$y(t)=C e^{-t}.
y(t)=C e^-t çãy(t)=5e^{-t},\quad 0\le t<\pi.$$

Passo 3

Para t\ge\pi temos f(t)=3. A EDO fica
y'+y=3
Usando fator integrante e integrando, chega-se à solução geral
y(t)=D e^-t+3
Para determinar D impomos continuidade em t=\pi:
y(pi^-)=y(pi^+)implies5e^-pi=D e^-pi+3
Isolando D obtemos
D=(5e^-pi-3)e^pi=5-3e^pi
Portanto, para t\ge\pi
y(t)=3+(5-3e^pi)e^-t

Resposta

y(t)= 5e^-t,&0<= t=pi

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