Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
sumn=1^infty[18^n+1n(n+1)]

Passo 1

Temos a série sumn=1^inftyl[tfrac18^n+tfrac1n(n+1)r]. O assunto é convergência de séries infinitas, em especial séries geométrica e telescópica. Vamos usar o Teorema 11.20 (linearidade da soma de séries) e propriedades dessas duas séries para decidir convergência e calcular a soma.

Passo 2

Pela linearidade (Teorema 11.20), escrevemos a série como soma de duas:
sumn=1^infty18^n;+ sumn=1^infty1n(n+1)

Passo 3

Para a primeira parte, notamos que sumn=1^inftytfrac18^n é uma série geométrica de razão r=1/8 com |r|<1. Pelo resultado padrão, ela converge e
sumn=1^infty18^n = 1/81-1/8 = 17

Passo 4

Para a segunda parte, fazemos frações parciais:
1n(n+1) = 1n - 1n+1
A soma parcial até N é
SN = sumn=1^Nl(1n - 1n+1r) = 1 - 1N+1,
que tende a 1 quando Ntoinfty. Logo essa série converge e sua soma é 1.

Passo 5

Somando as duas contribuições, a série original converge e
S = 17 + 1 = 87

Resposta

87

Exercícios relacionados