Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
Passo 1
Temos a série
. O assunto é convergência de séries infinitas, em especial séries geométrica e telescópica. Vamos usar o Teorema 11.20 (linearidade da soma de séries) e propriedades dessas duas séries para decidir convergência e calcular a soma.
Passo 2
Pela linearidade (Teorema 11.20), escrevemos a série como soma de duas:
Passo 3
Para a primeira parte, notamos que
é uma série geométrica de razão
com
. Pelo resultado padrão, ela converge e
Passo 4
Para a segunda parte, fazemos frações parciais:
A soma parcial até
é
que tende a
quando
. Logo essa série converge e sua soma é
.
Passo 5
Somando as duas contribuições, a série original converge e