Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
sumn=3^infty[(14)^n+(34)^n]

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série sumn=3^inftyl[(1/4)^n+(3/4)^nr], usando teoremas de séries conhecidas (11.20 ou 11.21). O conteúdo principal é série geométrica, e precisamos verificar convergência e, se convergente, calcular a soma.

Passo 2

Pelo Teorema de série geométrica, se |r|<1 então
sumn=N^inftyr^n=r^N1-r,
o que garante convergência e fornece a soma exata. Vamos aplicar isso a cada termo.

Passo 3

Para sumn=3^infty(1/4)^n, temos razão r=1/4 e primeiro termo a partir de n=3 igual a (1/4)^3=1/64. Logo,
sumn=3^inftyl(14r)^n=(1/4)^31-(1/4)=1/643/4=164cdot43=148

Passo 4

Para sumn=3^infty(3/4)^n, temos r=3/4 e primeiro termo (3/4)^3=27/64. Então,
sumn=3^inftyl(34r)^n=(3/4)^31-(3/4)=27/641/4=2764cdot4=2716

Passo 5

Somando as duas partes obtemos
148+2716=148+8148=8248=4124 Assim a série converge.

Resposta

A série converge e a soma é 41/24.

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