Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(b) f(x, y, z)=ln (x+2 y+3 z), P=(1,1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede: queremos as derivadas parciais de f(x,y,z)=ln(x+2y+3z) no ponto P=(1,1,1). O conteúdo envolvido é a derivada de uma função logaritmo e a aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Quando temos f(u)=ln(u), a derivada em relação a u é f’(u)=1/u. Pela regra da cadeia, a derivada parcial de f em relação a x (por exemplo) é
partial fpartial x=1ucdotpartial upartial x
onde u=x+2y+3z.

Passo 3

Definimos então a função interna u(x,y,z)=x+2y+3z e calculamos suas derivadas parciais:
partial upartial x=1,partial upartial y=2,partial upartial z=3

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, obtemos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=1x+2y+3z, partial fpartial y=2x+2y+3z, partial fpartial z=3x+2y+3z

Passo 5

Por fim, substituímos o ponto P=(1,1,1) no denominador x+2y+3z=1+2·1+3·1=6. Assim:
partial fpartial x(1,1,1)=16, partial fpartial y(1,1,1)=26=13, partial fpartial z(1,1,1)=36=12

Resposta

fx(1,1,1)=tfrac16, fy(1,1,1)=tfrac13, fz(1,1,1)=tfrac12

Exercícios relacionados