Considere a função
.
Informações:
-
-
(f) Indique onde a função tem concavidade para cima ou para baixo, sabendo que
é um ponto crítico de
.
Nota :
(f) Indique onde a função tem concavidade para cima ou para baixo, sabendo que
Nota :
Passo 1
A função é f(x)=\frac{\sqrt{2x4(2x2-4x+2)}}{(x-2)(x^2-1)}, e para estudar concavidade a gente usa f’’(x) dado. Vamos precisar do sinal de f’’ para classificar os trechos onde f é côncava para cima (f’’>0) ou para baixo (f’’<0).
Passo 2
Temos a expressão de f’’:
Repare que
sempre que
. Então o sinal de f’’ é o sinal de
Passo 3
Para encontrar possíveis pontos de inflexão, achamos a raiz real do numerador
. Ela é aproximadamente
.
Passo 4
O domínio de f exclui
. Logo consideramos os intervalos:
(-∞,x_0), (x_0,-1), (-1,1), (1,2), (2,∞).
(-∞,x_0), (x_0,-1), (-1,1), (1,2), (2,∞).
Passo 5
Estudo do numerador
:
- Para
, por exemplo , . - Para
, incluindo , .
Passo 6
Estudo do denominador
:
- Em (-∞,x_0) e (x_0,-1): escolha x=-7 e x=-2, encontramos
. - Em (-1,1): escolha x=0, temos
. - Em (1,2): escolha x=1.5, temos
. - Em (2,∞): escolha x=3, temos
.
Passo 7
Agora combinando sinais de N e D para f’’=N/D:
- (-∞,x_0): N<0, D<0 ⇒ f’’>0 ⇒ concavidade para cima.
- (x_0,-1): N>0, D<0 ⇒ f’’<0 ⇒ concavidade para baixo.
- (-1,1): N>0, D>0 ⇒ f’’>0 ⇒ concavidade para cima.
- (1,2): N>0, D<0 ⇒ f’’<0 ⇒ concavidade para baixo.
- (2,∞): N>0, D>0 ⇒ f’’>0 ⇒ concavidade para cima.
Resposta
f é côncava para cima em (-∞,x₀), (-1,1) e (2,∞); côncava para baixo em (x₀,-1) e (1,2), onde x₀≈-6 é ponto de inflexão.