Considere a função f(x)=raiz2 x^4(2 x^2-4 x+2)(x-2)(x^2-1).

Informações:

  • f^prime(x)=-2 x(x-1)(x+4)(x-2)^2(x+1)^2 raizx^2-2 x+1
  • f^prime prime(x)=4 raizx^2-2 x+1(x^3+6 x^2+4)(x-2)^3(x-1)(x+1)^3
    (f) Indique onde a função tem concavidade para cima ou para baixo, sabendo que x0 approx-6 é um ponto crítico de f^prime(x).
    Nota :

Passo 1

A função é f(x)=\frac{\sqrt{2x4(2x2-4x+2)}}{(x-2)(x^2-1)}, e para estudar concavidade a gente usa f’’(x) dado. Vamos precisar do sinal de f’’ para classificar os trechos onde f é côncava para cima (f’’>0) ou para baixo (f’’<0).

Passo 2

Temos a expressão de f’’:
f''(x)=4raizx^2-2x+1,(x^3+6x^2+4)(x-2)^3(x-1)(x+1)^3
Repare que raizx^2-2x+1=|x-1|>0 sempre que xneq1. Então o sinal de f’’ é o sinal de
x^3+6x^2+4(x-2)^3(x-1)(x+1)^3

Passo 3

Para encontrar possíveis pontos de inflexão, achamos a raiz real do numerador x^3+6x^2+4=0. Ela é aproximadamente x0approx-6.

Passo 4

O domínio de f exclui x=-1,1,2. Logo consideramos os intervalos:
(-∞,x_0), (x_0,-1), (-1,1), (1,2), (2,∞).

Passo 5

Estudo do numerador N(x)=x^3+6x^2+4:
  • Para x, por exemplo x=-7, N(x)<0.
  • Para x>x0, incluindo -11, N(x)>0.

Passo 6

Estudo do denominador D(x)=(x-2)^3(x-1)(x+1)^3:
  • Em (-∞,x_0) e (x_0,-1): escolha x=-7 e x=-2, encontramos D(x)<0.
  • Em (-1,1): escolha x=0, temos D(x)>0.
  • Em (1,2): escolha x=1.5, temos D(x)<0.
  • Em (2,∞): escolha x=3, temos D(x)>0.

Passo 7

Agora combinando sinais de N e D para f’’=N/D:
  • (-∞,x_0): N<0, D<0 ⇒ f’’>0 ⇒ concavidade para cima.
  • (x_0,-1): N>0, D<0 ⇒ f’’<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • (-1,1): N>0, D>0 ⇒ f’’>0 ⇒ concavidade para cima.
  • (1,2): N>0, D<0 ⇒ f’’<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • (2,∞): N>0, D>0 ⇒ f’’>0 ⇒ concavidade para cima.

Resposta

f é côncava para cima em (-∞,x₀), (-1,1) e (2,∞); côncava para baixo em (x₀,-1) e (1,2), onde x₀≈-6 é ponto de inflexão.

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