Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva . O enunciado nos dá:
E a curva é a intersecção do plano com o cilindro .
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral de superfície, que geralmente é mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo vetorial sobre uma superfície que tem como sua fronteira. A fórmula é:
Então, nossa missão é calcular o rotacional de e depois fazer a integral de superfície sobre .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Aplicando isso ao nosso campo :
Vamos calcular cada componente:
Componente :
Componente :
Componente :
Então,
Passo 4
Agora precisamos definir a superfície que está limitada pela curva . A curva é a intersecção do plano com o cilindro . Vamos escolher o plano como a superfície .
Para parametrizar a superfície, podemos resolver a equação do plano para :
Então, nossa parametrização será em termos de e :
Passo 5
Precisamos calcular o elemento de área da superfície . Para isso, encontramos os vetores tangentes e :
O produto vetorial desses vetores nos dá a normal à superfície:
Então,
dS = lang<= 3, -2, 1 rang<= dx dy
Passo 6
Agora, vamos expressar o rotacional nabla times F na parametrização da superfície. Já temos:
nabla times F = lang<= -y^2, 0, -x^2 rang<=
E o elemento de área é:
dS = lang<= 3, -2, 1 rang<= dx dy
A integral de superfície fica então:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaD lang<= -y^2, 0, -x^2 rang<= cdot lang<= 3, -2, 1 rang<= dx dy