Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r onde:
F(x, y, z)=lang<= y x^2, z y^2, z^2rang<=
C é a curva da intersecção do plano 3 x-2 y+z=5 com o cilindo x^2+y^2=25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo da curva C. O enunciado nos dá:
F(x, y, z) = lang<= y x^2, z y^2, z^2 rang<=
E a curva C é a intersecção do plano 3x - 2y + z = 5 com o cilindro x^2 + y^2 = 25.
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral de superfície, que geralmente é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional desse campo vetorial sobre uma superfície S que tem C como sua fronteira. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Então, nossa missão é calcular o rotacional de F e depois fazer a integral de superfície sobre S.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = lang<= Fx, Fy, Fz rang<= é dado por:
nabla times F = lang<= partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y rang<=
Aplicando isso ao nosso campo F:
F(x, y, z) = lang<= y x^2, z y^2, z^2 rang<=
Vamos calcular cada componente:
  • Componente i:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial (z^2)partial y - partial (z y^2)partial z = 0 - y^2 = -y^2
  • Componente j:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (y x^2)partial z - partial (z^2)partial x = 0 - 0 = 0
  • Componente k:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (z y^2)partial x - partial (y x^2)partial y = 0 - x^2 = -x^2
Então,
nabla times F = lang<= -y^2, 0, -x^2 rang<=

Passo 4

Agora precisamos definir a superfície S que está limitada pela curva C. A curva C é a intersecção do plano 3x - 2y + z = 5 com o cilindro x^2 + y^2 = 25. Vamos escolher o plano 3x - 2y + z = 5 como a superfície S.
Para parametrizar a superfície, podemos resolver a equação do plano para z:
z = 5 - 3x + 2y
Então, nossa parametrização será em termos de x e y:
r(x, y) = lang<= x, y, 5 - 3x + 2y rang<=

Passo 5

Precisamos calcular o elemento de área dS da superfície S. Para isso, encontramos os vetores tangentes rx e ry:
rx = partial rpartial x = lang<= 1, 0, -3 rang<=
ry = partial rpartial y = lang<= 0, 1, 2 rang<=
O produto vetorial desses vetores nos dá a normal à superfície:
rx times ry = | ccc i & j & k 1 & 0 & -3 0 & 1 & 2 | = lang<= (0)(2) - (-3)(1), -( (1)(2) - (-3)(0) ), (1)(1) - (0)(0) rang<= = lang<= 3, -2, 1 rang<=
Então,
dS = lang<= 3, -2, 1 rang<= dx dy

Passo 6

Agora, vamos expressar o rotacional nabla times F na parametrização da superfície. Já temos:
nabla times F = lang<= -y^2, 0, -x^2 rang<=
E o elemento de área é:
dS = lang<= 3, -2, 1 rang<= dx dy
A integral de superfície fica então:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaD lang<= -y^2, 0, -x^2 rang<= cdot lang<= 3, -2, 1 rang<= dx dy
Vamos calcular o produto escalar:
(-y^2) cdot 3 + 0 cdot (-2) + (-x^2) cdot 1 = -3y^2 - x^2
Então, a integral se torna:
integral duplaD (-3y^2 - x^2) dx dy
Onde D é a projeção da superfície S no plano xy, que no nosso caso é o círculo x^2 + y^2 = 25.

Passo 7

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região D é um círculo de raio 5. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, dx dy = r dr dtheta
Substituindo na integral:
integral duplaD (-3y^2 - x^2) dx dy = integral0^2pi integral0^5 ( -3 (r sin theta)^2 - (r cos theta)^2 ) r dr dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^5 ( -3 r^2 sin^2 theta - r^2 cos^2 theta ) r dr dtheta = integral0^2pi integral0^5 ( -3 sin^2 theta - cos^2 theta ) r^3 dr dtheta

Passo 8

Primeiro, vamos integrar em r:
integral0^5 ( -3 sin^2 theta - cos^2 theta ) r^3 dr = ( -3 sin^2 theta - cos^2 theta ) integral0^5 r^3 dr
Calculando a integral de r:
integral0^5 r^3 dr = [ r^44 ]0^5 = 5^44 - 0 = 6254
Então,
= ( -3 sin^2 theta - cos^2 theta ) cdot 6254

Passo 9

Agora, vamos integrar em theta:
integral0^2pi ( -3 sin^2 theta - cos^2 theta ) cdot 6254 dtheta = 6254 integral0^2pi ( -3 sin^2 theta - cos^2 theta ) dtheta
Separando as integrais:
= 6254 ( -3 integral0^2pi sin^2 theta dtheta - integral0^2pi cos^2 theta dtheta )
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2 theta dtheta = integral0^2pi cos^2 theta dtheta = pi
Então,
= 6254 ( -3 pi - pi ) = 6254 cdot (-4 pi) = -625 pi

Resposta

A integral integralC F cdot d r vale -625,pi.

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