Encontre os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências em torno de x=0 da solução geral da equação y^prime+x y=e^x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial .
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e precisamos encontrar uma série de potências (também conhecida como série de Maclaurin) para a solução. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e desenvolver a solução em série.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial usando o método do fator integrante. A equação está na forma padrão , onde e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral x dx = e^x^22 , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^x^22 y' + x e^x^22 y = e^x e^x^22
Isso simplifica para:
ddx( e^x^22 y ) = e^x + x^22

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a e^x^22 y = integral e^x + x^22 dx + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Observamos que:
x + x^22 = (x+1)^2 - 12
Portanto,
e^x + x^22 = e^(x+1)^2 -12 = e^-12 e^(x+1)^22
A integral se torna:
e^-12 integral e^(x+1)^22 dx
Essa integral está relacionada à função erro, mas para fins de série de potências, podemos expandir em série.

Passo 7

Expandimos e^x + x^22 = e^x cdot e^x^22 = ( sumn=0^infty x^nn! ) ( summ=0^infty (x^22)^mm! ) usando séries de potências:
1 + x + ( x^22 + x^22 ) + ( x^36 + x^32 ) + dots = 1 + x + x^2 + 23x^3 + dots
Multiplicando as séries e coletando os termos até , temos:

Passo 8

Integrando termo a termo:
integral e^x + x^22 dx approx integral (1 + x + x^2 + 23x^3) dx = x + x^22 + x^33 + 212x^4 + C
Simplificando:
x + x^22 + x^33 + x^46 + C

Passo 9

Voltando à expressão para e^x^22 y = x + x^22 + x^33 + x^46 + C :
y = e^-x^22 ( x + x^22 + x^33 + x^46 + C )
Multiplicamos ambos os lados por e^-x^22 = 1 - x^22 + x^48 + dots :
y = (1 - x^22 + x^48) (x + x^22 + x^33 + x^46) + C cdot e^-x^22
Expandindo y approx x + x^22 + x^33 + (x^46 - x^44 + x^48) + C em série:
16 - 14 + 18 = 424 - 624 + 324 = 124
Multiplicamos termo a termo:
y approx x + x^22 + x^33 + x^424 + C
Coletando os termos até :
Simplificando os coeficientes de :
Então:

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências da solução geral são:
y = C + x + x^22 + x^33 + x^424 + dots

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