Encontre os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências em torno de
da solução geral da equação
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
.
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e precisamos encontrar uma série de potências (também conhecida como série de Maclaurin) para a solução. Para isso, vamos precisar usar o método do fator integrante e desenvolver a solução em série.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
usando o método do fator integrante. A equação está na forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a integral. Observamos que:
Portanto,
A integral se torna:
Essa integral está relacionada à função erro, mas para fins de série de potências, podemos expandir
em série.
Passo 7
Expandimos
usando séries de potências:
Multiplicando as séries e coletando os termos até
, temos:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 9
Voltando à expressão para
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo
em série:
Multiplicamos termo a termo:
Coletando os termos até
:
Simplificando os coeficientes de
:
Então:
Resposta
Os quatro primeiros termos não nulos da expansão em série de potências da solução geral são: