Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
f(x, y)=\operatorname{tg}(x y).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\tan(xy)
em relação a x e a y. Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra da cadeia, lembrando que
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u).

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos a regra da cadeia. Seja u=xy. Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{dx}\bigl[\tan(u)\bigr] =\operatorname{sec}^2(u)\,\frac{du}{dx} =\operatorname{sec}^2(xy)\cdot y.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e repetimos o mesmo raciocínio com u=xy. Assim
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{d}{dy}\bigl[\tan(u)\bigr] =\operatorname{sec}^2(u)\,\frac{du}{dy} =\operatorname{sec}^2(xy)\cdot x.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\,\operatorname{sec}^2(xy), \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\,\operatorname{sec}^2(xy).

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