Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
f(x, y, z)=x^{3} y z^{2}+3 x^{2} y^{2} z^{2}-5 y^{3} z^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{3}yz^{2}+3x^{2}y^{2}z^{2}-5y^{3}z^{3}
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}. Para isso vamos usar a definição de derivada parcial e a regra da potência, tratando sempre as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para calcular
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}
tratamos y e z como constantes e derivamos cada termo em relação a x. Temos:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^3 y z^2\bigr) =3x^2\,y\,z^2, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^2y^2z^2\bigr) =6x\,y^2\,z^2, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-5y^3z^3\bigr) =0.
Somando esses resultados,
\frac{\partial f}{\partial x} =3x^2 y z^2+6x y^2 z^2.

Passo 3

Para calcular
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}
tratamos x e z como constantes e derivamos cada termo em relação a y. Obtemos:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^3y z^2\bigr) =x^3\,z^2, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^2y^2z^2\bigr) =6x^2\,y\,z^2, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-5y^3z^3\bigr) =-15y^2\,z^3.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} =x^3 z^2+6x^2 y z^2-15y^2 z^3.

Passo 4

Para calcular
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}
tratamos x e y como constantes e derivamos cada termo em relação a z. Assim:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^3y z^2\bigr) =2x^3\,y\,z, \quad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(3x^2y^2z^2\bigr) =6x^2\,y^2\,z, \quad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(-5y^3z^3\bigr) =-15y^3\,z^2.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial z} =2x^3 y z+6x^2 y^2 z-15y^3 z^2.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2 y z^2+6x y^2 z^2.
(b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^3 z^2+6x^2 y z^2-15y^2 z^3.
(c) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2x^3 y z+6x^2 y^2 z-15y^3 z^2.

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