A função
é diferenciável? Justifique.
19. A função
é diferenciéruel? Justifique.
19. A função
Passo 1
O enunciado traz duas funções de três variáveis e pergunta sobre diferenciabilidade em seus domínios:
-
. -
.
Para resolver, vamos usar que composição de funções diferenciáveis é diferenciável, observando onde estão definidos os domínios e onde as derivadas parciais são contínuas.
Passo 2
Análise de
.
Definimos primeiro
Definimos primeiro
que é polinomial, logo diferenciável em toda
. Em seguida,
que é diferenciável em
com
, mas não diferenciável em
. Como
, a composição é diferenciável onde
, ou seja, em
.
Passo 3
No ponto
não há diferenciabilidade porque a derivada de
em
é infinita e os diferenciais laterais de
não se comportam linearmente (por exemplo, ao longo do eixo
obtemos diferença
, cuja derivada direcional varia conforme
ou
).
Portanto,
Portanto,
Passo 4
Análise de
.
Definimos
Definimos
função linear e, portanto, diferenciável em toda
. Além disso, a função
é diferenciável para
. Como
, a composição é diferenciável em todos os pontos em que
, isto é, no domínio
Passo 5
As derivadas parciais de
são
todas contínuas no domínio acima. Logo
é diferenciável em
.
Resposta
Para
: diferenciável em
, não diferenciável em
.
Para : diferenciável em todo o conjunto
.
Para