A função f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é diferenciável? Justifique.
19. A função f(x, y, z)=\ln (1-x-y-z) é diferenciéruel? Justifique.

Passo 1

O enunciado traz duas funções de três variáveis e pergunta sobre diferenciabilidade em seus domínios:
  1. f_1(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  2. f_2(x,y,z)=\ln\bigl(1 - x - y - z\bigr).
    Para resolver, vamos usar que composição de funções diferenciáveis é diferenciável, observando onde estão definidos os domínios e onde as derivadas parciais são contínuas.

Passo 2

Análise de f_1(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Definimos primeiro
r(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
que é polinomial, logo diferenciável em toda \mathbb{R}^3. Em seguida,
g(t)=\sqrt{t},\quad t\ge0,
que é diferenciável em (0,\infty) com g'(t)=\tfrac1{2\sqrt{t}}, mas não diferenciável em t=0. Como f_1=g\circ r, a composição é diferenciável onde r(x,y,z)>0, ou seja, em \mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}.

Passo 3

No ponto (0,0,0) não há diferenciabilidade porque a derivada de \sqrt{t} em t=0 é infinita e os diferenciais laterais de f_1 não se comportam linearmente (por exemplo, ao longo do eixo x obtemos diferença \sqrt{h^2}-0=|h|, cuja derivada direcional varia conforme h\to0^+ ou h\to0^-).
Portanto,
\text{\(f_1\) é diferenciável em }\mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}\text{ e não é diferenciável em }(0,0,0).éáãéá

Passo 4

Análise de f_2(x,y,z)=\ln\bigl(1 - x - y - z\bigr).
Definimos
h(x,y,z)=1 - x - y - z,
função linear e, portanto, diferenciável em toda \mathbb{R}^3. Além disso, a função
\ell(u)=\ln(u)
é diferenciável para u>0. Como f_2=\ell\circ h, a composição é diferenciável em todos os pontos em que h(x,y,z)>0, isto é, no domínio
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1 - x - y - z > 0\}.

Passo 5

As derivadas parciais de f_2 são
\frac{\partial f_2}{\partial x}=-\frac1{1-x-y-z},\quad \frac{\partial f_2}{\partial y}=-frac1{1-x-y-z},\quad \frac{\partial f_2}{\partial z}=-\frac1{1-x-y-z},
todas contínuas no domínio acima. Logo f_2 é diferenciável em \{1-x-y-z>0\}.

Resposta

Para f_1(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}: diferenciável em \mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}, não diferenciável em (0,0,0).
Para f_2(x,y,z)=\ln(1-x-y-z): diferenciável em todo o conjunto \{(x,y,z)\mid 1-x-y-z>0\}.

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