Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f. Sugestão. Utilize o exercício P1.
f(x, y, z)=x^{3} y z^{2}+3 x^{2} y^{2} z^{2}-5 y^{3} z^{3}.

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y,z)=x^{3}y\,z^{2}+3x^{2}y^{2}z^{2}-5y^{3}z^{3}.
Vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, calcular as de segunda ordem.

Passo 2

Calcular \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z.
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y\,z^{2}+3x^{2}y^{2}z^{2}-5y^{3}z^{3}\bigr) =3x^{2}y\,z^{2}+6x\,y^{2}z^{2}.
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y\,z^{2}+3x^{2}y^{2}z^{2}-5y^{3}z^{3}\bigr) =x^{3}z^{2}+6x^{2}y\,z^{2}-15y^{2}z^{3}.
f_z=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}y\,z^{2}+3x^{2}y^{2}z^{2}-5y^{3}z^{3}\bigr) =2x^{3}y\,z+6x^{2}y^{2}z-15y^{3}z^{2}.

Passo 3

Calcular f_{xx}, f_{xy} e f_{xz}.
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\,z^{2}+6x\,y^{2}z^{2}\bigr) =6x\,y\,z^{2}+6y^{2}z^{2}.
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\,z^{2}+6x\,y^{2}z^{2}\bigr) =3x^{2}z^{2}+12x\,y\,z^{2}.
f_{xz}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(3x^{2}y\,z^{2}+6x\,y^{2}z^{2}\bigr) =6x^{2}y\,z+12x\,y^{2}z.

Passo 4

Calcular f_{yy} e f_{yz}.
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}z^{2}+6x^{2}y\,z^{2}-15y^{2}z^{3}\bigr) =6x^{2}z^{2}-30y\,z^{3}.
f_{yz}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}z^{2}+6x^{2}y\,z^{2}-15y^{2}z^{3}\bigr) =2x^{3}z+12x^{2}y\,z-45y^{2}z^{2}.

Passo 5

Calcular f_{zz}.
f_{zz}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2x^{3}y\,z+6x^{2}y^{2}z-15y^{3}z^{2}\bigr) =2x^{3}y+6x^{2}y^{2}-30y^{3}z.

Resposta

f_{xx}=6x\,y\,z^{2}+6y^{2}z^{2}
f_{xy}=3x^{2}z^{2}+12x\,y\,z^{2}
f_{xz}=6x^{2}y\,z+12x\,y^{2}z
f_{yy}=6x^{2}z^{2}-30y\,z^{3}
f_{yz}=2x^{3}z+12x^{2}y\,z-45y^{2}z^{2}
f_{zz}=2x^{3}y+6x^{2}y^{2}-30y^{3}z

Exercícios relacionados