Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=y^4+5 x y^3, P=(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e o ponto . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e nesse ponto. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, que são derivadas de funções com várias variáveis, onde a gente deriva uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = y^4 + 5xy^3 em relação a partial fpartial x = partialpartial x(y^4) + partialpartial x(5xy^3) = 0 + 5y^3 = 5y^3 , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir o ponto partial fpartial x g|(1, 2) = 5 times (2)^3 = 5 times 8 = 40 na derivada que encontramos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y(y^4) + partialpartial y(5xy^3) = 4y^3 + 15xy^2 em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
Derivando em relação a :

Passo 5

Substituindo o ponto partial fpartial y g|(1, 2) = 4 times (2)^3 + 15 times 1 times (2)^2 = 4 times 8 + 15 times 4 = 32 + 60 = 92 na derivada que encontramos:

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 40 e partial fpartial y = 92 no ponto são:

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