Em cada item, determine as derivadas parciais da função no ponto . Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e o ponto . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e nesse ponto. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, que são derivadas de funções com várias variáveis, onde a gente deriva uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a :
Passo 3
Agora, vamos substituir o ponto na derivada que encontramos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y(y^4) + partialpartial y(5xy^3) = 4y^3 + 15xy^2 em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
Derivando em relação a :
Passo 5
Substituindo o ponto partial fpartial y g|(1, 2) = 4 times (2)^3 + 15 times 1 times (2)^2 = 4 times 8 + 15 times 4 = 32 + 60 = 92 na derivada que encontramos:
Resposta
As derivadas parciais da função partial fpartial x = 40 e partial fpartial y = 92 no ponto são: