Em cada item, determine a matriz hessiana de
no ponto
. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede a matriz Hessiana de uma função de duas variáveis em um ponto dado. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem (Hessiana), e vamos precisar usar regra do quociente e regra da cadeia para derivar
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra do quociente. Denotando
, temos:
[f_y = \frac{1 \cdot D - y \cdot 3}{D^2} = \frac{2x}{(2x+3y)^2}."]
Passo 3
Em seguida, derivamos novamente para obter as derivadas de segunda ordem. Para
, tratamos
como constante:
$$f_{xx} = \frac{d}{dx}\Bigl(-2y(2x+3y)^{-2}\Bigr) = -2y \cdot (-2)(2x+3y)^{-3} \cdot 2 = \frac{8y}{(2x+3y)^3}.
$$
Passo 4
Para
, aplicamos a regra do produto em
derivando em relação a
:
$$f_{xy} = -2(2x+3y)^{-2} + -2y \cdot (-2)(2x+3y)^{-3} \cdot 3 = \frac{-2(2x+3y) + 12y}{(2x+3y)^3} = \frac{6y - 4x}{(2x+3y)^3}.
$$
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
:
$$f_{yy} = 2x \cdot (-2)(2x+3y)^{-3} \cdot 3 = -\frac{12x}{(2x+3y)^3}.
$$
Passo 6
Agora avaliamos essas segundas derivadas em
, onde
:
$$f_{yy}(0,1) = -\frac{12\cdot0}{3^3} = 0.
$$
Passo 7
Montamos a matriz Hessiana no ponto
com esses valores.
Resposta
A matriz Hessiana de
em
é: