Em cada item, determine a matriz hessiana de f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=y2 x+3 y, P=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede a matriz Hessiana de uma função de duas variáveis em um ponto dado. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem (Hessiana), e vamos precisar usar regra do quociente e regra da cadeia para derivar f(x,y) = y2x+3y.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra do quociente. Denotando D = 2x + 3y, temos:
fx = 0 cdot D - y cdot 2D^2 = -2y(2x+3y)^2,
[f_y = \frac{1 \cdot D - y \cdot 3}{D^2} = \frac{2x}{(2x+3y)^2}."]

Passo 3

Em seguida, derivamos novamente para obter as derivadas de segunda ordem. Para fxx, tratamos y como constante:
$$f_{xx} = \frac{d}{dx}\Bigl(-2y(2x+3y)^{-2}\Bigr) = -2y \cdot (-2)(2x+3y)^{-3} \cdot 2 = \frac{8y}{(2x+3y)^3}.
$$

Passo 4

Para fxy, aplicamos a regra do produto em -2y(2x+3y)^-2 derivando em relação a y:
$$f_{xy} = -2(2x+3y)^{-2} + -2y \cdot (-2)(2x+3y)^{-3} \cdot 3 = \frac{-2(2x+3y) + 12y}{(2x+3y)^3} = \frac{6y - 4x}{(2x+3y)^3}.
$$

Passo 5

Para fyy, derivamos fy = 2x(2x+3y)^-2 em relação a y:
$$f_{yy} = 2x \cdot (-2)(2x+3y)^{-3} \cdot 3 = -\frac{12x}{(2x+3y)^3}.
$$

Passo 6

Agora avaliamos essas segundas derivadas em P=(0,1), onde 2x+3y = 3:
fxx(0,1) = 8cdot13^3 = 827,
fxy(0,1) = 6cdot1 - 4cdot03^3 = 627 = 29,
$$f_{yy}(0,1) = -\frac{12\cdot0}{3^3} = 0.
$$

Passo 7

Montamos a matriz Hessiana no ponto (0,1) com esses valores.

Resposta

A matriz Hessiana de f em P=(0,1) é:
Hf(0,1) = tfrac827 & tfrac29 [4pt] tfrac29 & 0

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