Em cada item, determine as derivadas parciais da função
no ponto
. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
©
.
C3
Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Sugestão. Utilize o exercício C1.
(a)
.
©
C3
Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que é pedido: parte C2© quer as derivadas parciais de primeira ordem de uma função de três variáveis no ponto dado, e parte C3(a) pede as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Para f(x,y,z)=\sqrt{x2+y2+z^2} usamos a regra da cadeia. Se definirmos u(x,y,z)=x2+y2+z^2 e f=\sqrt{u}, então f_x=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot2x=x/\sqrt{x2+y2+z^2}. De modo análogo temos:
Passo 3
Agora avaliamos em P=(1,2,3). Note que \sqrt{12+22+3^2}=\sqrt{14}, logo
Passo 4
Para f(x,y)=x4y-2x3y^2 (parte C3(a)), começamos encontrando f_x e f_y:
Passo 5
Em seguida derivamos novamente para obter as segundas parciais:
Resposta
C2©: f_x(1,2,3)=1/\sqrt{14}, f_y(1,2,3)=2/\sqrt{14}, f_z(1,2,3)=3/\sqrt{14}. C3(a): f_{xx}(x,y)=12x2y-12xy2, f_{xy}(x,y)=4x3-12x2y, f_{yx}(x,y)=4x3-12x2y, f_{yy}(x,y)=-4x^3.