Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
© f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2, P=(1,2,3).
C3
Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f. Sugestão. Utilize o exercício C1.
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que é pedido: parte C2© quer as derivadas parciais de primeira ordem de uma função de três variáveis no ponto dado, e parte C3(a) pede as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para f(x,y,z)=\sqrt{x2+y2+z^2} usamos a regra da cadeia. Se definirmos u(x,y,z)=x2+y2+z^2 e f=\sqrt{u}, então f_x=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot2x=x/\sqrt{x2+y2+z^2}. De modo análogo temos:
fx=xraizx^2+y^2+z^2, fy=yraizx^2+y^2+z^2, fz=zraizx^2+y^2+z^2

Passo 3

Agora avaliamos em P=(1,2,3). Note que \sqrt{12+22+3^2}=\sqrt{14}, logo
fx(1,2,3)=1raiz14, fy(1,2,3)=2raiz14, fz(1,2,3)=3raiz14

Passo 4

Para f(x,y)=x4y-2x3y^2 (parte C3(a)), começamos encontrando f_x e f_y:
fx=4x^3y-6x^2y^2, fy=x^4-4x^3y

Passo 5

Em seguida derivamos novamente para obter as segundas parciais:
fxx=12x^2y-12xy^2, fxy=4x^3-12x^2y,
fyx=4x^3-12x^2y, fyy=-4x^3

Resposta

C2©: f_x(1,2,3)=1/\sqrt{14}, f_y(1,2,3)=2/\sqrt{14}, f_z(1,2,3)=3/\sqrt{14}. C3(a): f_{xx}(x,y)=12x2y-12xy2, f_{xy}(x,y)=4x3-12x2y, f_{yx}(x,y)=4x3-12x2y, f_{yy}(x,y)=-4x^3.

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