Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
(h) f(x, y, z)=y tg(x+2 z).
C2
Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2, P=(2,-1).

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão pede e quais ferramentas vamos usar: precisamos calcular derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para isso vamos usar a definição de derivada parcial, a regra do produto, a regra da cadeia e lembrar que a derivada de em relação a tg(u) é u.

Passo 2

Item (h): temos . Primeiro, note que é um produto entre f(x,y,z)=y,tg(x+2z) (que trataremos como constante quando derivamos em y ou x) e com z. Aplicando o produto e a cadeia:
$$\frac{\partial f}{\partial z}=y\cdot\frac{d}{dz}\bigl(\tg(x+2z)\bigr)=y\cdot\sec2(x+2z)\cdot2=2y,\sec2(x+2z).
\frac{\partial f}{\partial y}=1\cdot\tg(x+2z)=\tg(x+2z).
$$

Passo 3

Item C2(a): f(x,y)=x^4y-2x^3y^2 e ponto P=(2,-1). Derivando em x e y:
partial fpartial x=4x^3y-6x^2y^2,
partial fpartial y=x^4-4x^3y
Agora basta avaliar em (2,-1):
partial fpartial x(2,-1)=4cdot2^3cdot(-1)-6cdot2^2cdot(-1)^2=-32-24=-56,
$$\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1)=24-4\cdot23\cdot(-1)=16+32=48.
$$

Resposta

Para (h):
Para C2(a) em partial fpartial x=y,sec^2(x+2z), partial fpartial y=tg(x+2z), partial fpartial z=2y,sec^2(x+2z):
P=(2,-1)

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