Calcule a integral
transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente precisa transformar essa integral que está em coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. O conteúdo principal aqui é cálculo multivariado, especificamente a integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas, ajustar os limites de integração e também saber como expressar a função no novo sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral está fazendo. Temos uma região definida no espaço onde
varia de 0 a 1,
varia de 0 a
e
varia de
a
. A função a integrar é
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, a relação entre as coordenadas cartesianas
e esféricas
é dada por:
E o elemento de volume
em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Vamos reescrever a função
em termos de coordenadas esféricas:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas esféricas.
-
Para
: Observando as expressões e , percebemos que varia de até . Depois de simplificar, veremos que varia de 0 a . -
Para
: Como varia de , que implica de 45 graus (ou radianos) até o topo, então varia de 0 a . -
Para
: Como e variam de 0 a algo positivo, varia de 0 a .
Passo 6
Montando a integral em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integraremos em relação a
:
Passo 8
Em seguida, integramos em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a identidade:
Integrando:
Avaliando de 0 a
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Usando a substituição
,
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados obtidos:
Portanto, a resposta final é: