Calcule a integral integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 x y d z d y d x transformando para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente precisa transformar essa integral que está em coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. O conteúdo principal aqui é cálculo multivariado, especificamente a integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas, ajustar os limites de integração e também saber como expressar a função no novo sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral está fazendo. Temos uma região definida no espaço onde varia de 0 a 1, varia de 0 a e varia de a . A função a integrar é .

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a relação entre as coordenadas cartesianas x = rho sinphi costheta e esféricas y = rho sinphi sintheta é dada por:
z = rho cosphi
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 4

Vamos reescrever a função xy = (rho sinphi costheta)(rho sinphi sintheta) = rho^2 sin^2phi costheta sintheta em termos de coordenadas esféricas:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas esféricas.
  • Para : Observando as expressões e , percebemos que varia de até . Depois de simplificar, veremos que varia de 0 a .
  • Para : Como varia de , que implica de 45 graus (ou radianos) até o topo, então varia de 0 a .
  • Para : Como e variam de 0 a algo positivo, varia de 0 a .

Passo 6

Montando a integral em coordenadas esféricas:
integral0^pi/2 integral0^pi/4 integral0^raiz2 (rho^2 sin^2phi costheta sintheta) cdot (rho^2 sinphi) , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
rho^4 sin^3phi costheta sintheta

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integraremos em relação a integral0^raiz2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^raiz2 = (raiz2)^55 = 4raiz25 :

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi/4 sin^3phi , dphi :
sin^3phi = sinphi (1 - cos^2phi)
Para resolver essa integral, usamos a identidade:
integral sinphi , dphi - integral sinphi cos^2phi , dphi = -cosphi + cos^3phi3
Integrando:
( -cospi4 + cos^3pi43 ) - ( -cos0 + cos^303 ) = ( -raiz22 + (raiz22)^33 ) - ( -1 + 13 ) = 13 - raiz22 + raiz212
Avaliando de 0 a 13 - 5raiz212 :
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a integral0^pi/2 costheta sintheta , dtheta :
integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12
Usando a substituição , :

Resposta

Multiplicando todos os resultados obtidos:
4raiz25 times ( 13 - 5raiz212 ) times 12 = 4raiz25 times ( 4 - 5raiz212 ) times 12 = 4raiz2(4 - 5raiz2)120 = 16raiz2 - 20 times 2120 = 16raiz2 - 40120 = 4raiz2 - 1030
Portanto, a resposta final é:
4raiz2 - 1030

Exercícios relacionados