Em cada item, determine a matriz hessiana de f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2, P=(-1,2).

Passo 1

A função é f(x,y)=x^4y-2x^3y^2 e queremos a matriz Hessiana em P=(-1,2). Isso envolve calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de f.

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas parciais de primeira ordem. Para fx, derivamos em relação a x:
fx&=partialpartial xl(x^4yr)-2partialpartial xl(x^3y^2r) fx&=4x^3y-6x^2y^2
E para fy, em relação a y:
fy&=partialpartial yl(x^4yr)-2partialpartial yl(x^3y^2r) fy&=x^4-4x^3y

Passo 3

Em seguida, derivamos de novo para obter as segundas derivadas. Temos:
fxx&=partialpartial x(4x^3y-6x^2y^2)=12x^2y-12xy^2 fxy&=partialpartial y(4x^3y-6x^2y^2)=4x^3-12x^2y fyy&=partialpartial y(x^4-4x^3y)=-4x^3

Passo 4

Agora, avaliamos cada uma em P=(-1,2):
fxx(-1,2)&=12cdot(-1)^2cdot2-12cdot(-1)cdot2^2=24+48=72 fxy(-1,2)&=4cdot(-1)^3-12cdot(-1)^2cdot2=-4-24=-28 fyy(-1,2)&=-4cdot(-1)^3=4

Passo 5

Com isso, a matriz Hessiana em P é montada com fxx,fxy,fyx e fyy.

Resposta

nabla^2f(-1,2)=72 & -28 -28 & 4

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