Em cada item, determine as derivadas parciais da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(e) f(x, y, z)=x^3 y z^2+3 x^2 y^2 z^2-5 y^3 z^3, P=(1,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = x^{3} y z^{2} + 3x^{2} y^{2} z^{2} - 5y^{3} z^{3} $ no ponto $ P = (1, -1, 2) $. O conteúdo principal aqui é derivação parcial, que nos permite analisar como a função muda em relação a uma variável enquanto as outras permanecem constantes. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é:
f
Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. Aplicamos a regra do poder para cada termo que contém $ x $:
  1. Derivada de $ x^{3} y z^{2} $ em relação a $ x $:
x
  1. Derivada de $ 3x^{2} y^{2} z^{2} $ em relação a $ x $:
partial fpartial x
  1. Derivada de $ -5y^{3} z^{3} $ em relação a $ x $:
f(x, y, z) = x^3 y z^2 + 3x^2 y^2 z^2 - 5y^3 z^3
(Este termo não contém $ x $, então sua derivada é zero.)
Somando tudo:
x
Agora, substituímos $ x = 1 $, $ y = -1 $, $ z = 2 $:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Derivando cada termo em relação a $ y $:
  1. Derivada de $ x^{3} y z^{2} $ em relação a $ y $:
f
  1. Derivada de $ 3x^{2} y^{2} z^{2} $ em relação a $ y $:
y
  1. Derivada de $ -5y^{3} z^{3} $ em relação a $ y $:
partial fpartial y
Somando tudo:
y
Substituindo $ x = 1 $, $ y = -1 $, $ z = 2 $:
x^3 y z^2

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial z} $.
Derivando cada termo em relação a $ z $:
  1. Derivada de $ x^{3} y z^{2} $ em relação a $ z $:
f
  1. Derivada de $ 3x^{2} y^{2} z^{2} $ em relação a $ z $:
z
  1. Derivada de $ -5y^{3} z^{3} $ em relação a $ z $:
partial fpartial z
Somando tudo:
z
Substituindo $ x = 1 $, $ y = -1 $, $ z = 2 $:
x^3 y z^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ f $ no ponto $ P = (1, -1, 2) $ são:
f

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