Em cada item, determine as derivadas parciais da função
no ponto
. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = x^{3} y z^{2} + 3x^{2} y^{2} z^{2} - 5y^{3} z^{3} $ no ponto $ P = (1, -1, 2) $. O conteúdo principal aqui é derivação parcial, que nos permite analisar como a função muda em relação a uma variável enquanto as outras permanecem constantes. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é:
Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. Aplicamos a regra do poder para cada termo que contém $ x $:
- Derivada de $ x^{3} y z^{2} $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ 3x^{2} y^{2} z^{2} $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ -5y^{3} z^{3} $ em relação a $ x $:
(Este termo não contém $ x $, então sua derivada é zero.)
Somando tudo:
Agora, substituímos $ x = 1 $, $ y = -1 $, $ z = 2 $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Derivando cada termo em relação a $ y $:
- Derivada de $ x^{3} y z^{2} $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ 3x^{2} y^{2} z^{2} $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ -5y^{3} z^{3} $ em relação a $ y $:
Somando tudo:
Substituindo $ x = 1 $, $ y = -1 $, $ z = 2 $:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial z} $.
Derivando cada termo em relação a $ z $:
- Derivada de $ x^{3} y z^{2} $ em relação a $ z $:
- Derivada de $ 3x^{2} y^{2} z^{2} $ em relação a $ z $:
- Derivada de $ -5y^{3} z^{3} $ em relação a $ z $:
Somando tudo:
Substituindo $ x = 1 $, $ y = -1 $, $ z = 2 $:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f $ no ponto $ P = (1, -1, 2) $ são: