Calcule as integrais abaixo: integral x+1(x^2-1)(x-3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x+1(x^2-1)(x-3),dx. Isso envolve decomposição em frações parciais, pois o numerador é de grau menor que o denominador e conseguimos fatorar x^2-1=(x-1)(x+1).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e escrevemos a forma geral da decomposição:
x+1(x-1)(x+1)(x-3) = Ax-1 + Bx+1 + Cx-3

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1)(x-3) para achar A,B,C:
x+1 = A(x+1)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x+1)
Usamos o método cover-up:
  • Para x=1: 2 = Acdot2cdot(-2) = -4A então
  • Para A=-tfrac12: x=-1 então
  • Para 0 = Bcdot(-2)cdot(-4)=8B: B=0 então x=3.

Passo 4

Substituindo de volta, a integral vira
integral x+1(x^2-1)(x-3),dx = integrall(-tfrac121x-1 + 0 + tfrac121x-3r)dx
Agora integramos termo a termo usando integral dxx-a=ln|x-a|+C:
-tfrac12integral dxx-1 + tfrac12integral dxx-3 = -tfrac12ln|x-1| + tfrac12ln|x-3| + C

Passo 5

Por fim, podemos combinar os logaritmos:
-tfrac12ln|x-1| + tfrac12ln|x-3| = tfrac12lnl|x-3x-1r|

Resposta

$\displaystyle \frac12 \ln\Bigl|\frac{x-3}{x-1}\Bigr| + C $

Exercícios relacionados