Determine o fluxo do campo de vetores F(x, y, z)=x^2 i+x y j+3 z k para fora da região do espaço delimitada pelos hiperboloides z=5-raizx^2+y^2, z=-1+raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=x^2 i + xy j +3z k para fora da região limitada pelos hiperboloides z=5-raizx^2+y^2 e z=-1+raizx^2+y^2. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divergência, que troca o fluxo de F pela integral tripla da divergência de F sobre o volume V.

Passo 2

Calcular a divergência de F:
nablacdot F=partialpartial x(x^2)+partialpartial y(xy)+partialpartial z(3z)=2x + x + 3=3x+3

Passo 3

Descrever a região V em coordenadas cilíndricas: defina r=raizx^2+y^2. As superfícies são
z=5-re z=-1+r,
que se cruzam quando 5-r=-1+rRightarrow r=3. Logo
0<= r<= 3, -1+r<= z<= 5-r, 0<=theta<=2pi

Passo 4

Montar a integral tripla segundo o Teorema da Divergência:
Phi=integral triplaV(3x+3),dV=integral0^2pi!integral0^3!integralz=-1+r^5-rl(3rcostheta+3r),r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Separar em duas partes:
  • A parte com 3r^2costheta integra em theta de 0 a 2pi e dá zero.
  • A parte com 3r
3integral0^2pidthetaintegral0^3r(6-2r)dr =3cdot2picdot9=54pi

Resposta

54pi

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