Resolver a seguinte integral imprópria integral0^+infty e^-2 t cos (3 t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^+infty e^-2 t cos(3 t) , dt
Esse tipo de integral se encaixa na teoria de integrais impróprias e podemos resolvê-la usando transformada de Laplace.

Passo 2

Para verificar convergência, note que a parte exponencial e^-2t decai rapidamente quando t to +infty, dominando o caráter oscilatório de cos(3t) e garantindo que a integral seja convergente.

Passo 3

Usando a definição de transformada de Laplace, para uma função f(t) temos
Lf(t)(s)=integral0^+infty e^-s t f(t) , dt
Em particular, para f(t)=cos(b t) existe a fórmula conhecida:
integral0^+infty e^-s t cos(b t) , dt = ss^2 + b^2

Passo 4

No nosso caso identificamos s=2 e b=3. Logo,
integral0^+infty e^-2 t cos(3 t) , dt = 22^2 + 3^2 = 213

Resposta

tfrac213

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