Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
(g) f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y,z)=√(x²+y²+z²), e o objetivo é encontrar as derivadas parciais de f em relação a x, y e z. O conteúdo principal aqui é derivação de função composta (regra da cadeia) aplicada a uma função radicial de três variáveis.

Passo 2

Para calcular ∂f/∂x, escrevemos f como potência:
f(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)^1/2
Usando a regra da cadeia, temos que a derivada de u^{1/2} em relação a x é tfrac12 u^-1/2 cdot u', onde u = x^2+y^2+z^2 e u' = ∂/∂x(x^2+y^2+z^2)=2x. Logo,
∂f∂x = 12 (x^2+y^2+z^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2+y^2+z^2

Passo 3

Para ∂f/∂y, o raciocínio é análogo: definimos novamente u = x^2+y^2+z^2 e agora u' = ∂/∂y(x^2+y^2+z^2)=2y. Aplicando a regra da cadeia,
∂f∂y = 12 (x^2+y^2+z^2)^-1/2 cdot 2y = yraizx^2+y^2+z^2

Passo 4

Para ∂f/∂z, repetimos o mesmo processo: u = x^2+y^2+z^2, u' = ∂/∂z(x^2+y^2+z^2)=2z. Então,
∂f∂z = 12 (x^2+y^2+z^2)^-1/2 cdot 2z = zraizx^2+y^2+z^2

Resposta

∂f/∂x = x/√(x²+y²+z²), ∂f/∂y = y/√(x²+y²+z²), ∂f/∂z = z/√(x²+y²+z²)

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