Em cada item, use a regra da cadeia para calcular d f / d t (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de t ).
(b) f(x, y)=x-yx+2 y, x(t)=e^t, y(t)=e^-t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular df/dt usando a regra da cadeia para f(x,y)=(x-y)/(x+2y) com x(t)=e^t e y(t)=e^-t. Vamos precisar da definição da regra do quociente para obter as derivadas parciais de f e depois aplicar df/dt = fx,dx/dt + fy,dy/dt.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais de f usamos a regra do quociente. Lembrando que, para f=g/h, vale fx=(h gx - g hx)/h^2 e um análogo para fy. Aqui temos:
fx = (1),(x+2y)-(x-y),(1)(x+2y)^2 = 3y(x+2y)^2,
fy = (-1),(x+2y)-(x-y),(2)(x+2y)^2 = -3x(x+2y)^2

Passo 3

Calculamos agora as derivadas de x e y em relação a t:
dx/dt = e^t = x,
dy/dt = -e^-t = -y.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dfdt = fx,dxdt + fy,dydt = 3y(x+2y)^2,x + -3x(x+2y)^2,(-y) = 3xy + 3xy(x+2y)^2 = 6xy(x+2y)^2

Resposta

dfdt = 6,x,y(x+2y)^2

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