Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(b) f(x, y, z)=ln (x+2 y+3 z), P=(1,1,1).
C5
Em cada item, determine a matriz hessiana de f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2, P=(-1,2).

Passo 1

Neste exercício temos dois itens: em (b) vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y,z)=ln(x+2y+3z) no ponto P=(1,1,1). Em (a) vamos montar a matriz hessiana de f(x,y)=x^4y-2x^3y^2 e avaliá-la no ponto P=(-1,2). Vamos usar definição de derivada parcial, regra da cadeia e a hessiana como matriz das segundas derivadas parciais.

Passo 2

Para o item (b), defina u=x+2y+3z. Então f=ln(u). Usando a regra da cadeia: as derivadas de primeira ordem são
fx=1u, fy=2u, fz=3u
Derivando de novo e lembrando que ddu(1/u)=-1/u^2:
fxx=-1u^2, fxy=-2u^2, fxz=-3u^2,
fyy=-4u^2, fyz=-6u^2, fzz=-9u^2

Passo 3

Avaliando em P=(1,1,1) temos u=1+2+3=6. Logo:
fxx(P)=-136, fxy(P)=-118, fxz(P)=-112,
fyy(P)=-19, fyz(P)=-16, fzz(P)=-14

Passo 4

Para o item (a), comece calculando as derivadas de primeira ordem de f(x,y)=x^4y-2x^3y^2:
fx=4x^3y-6x^2y^2, fy=x^4-4x^3y
Agora derivadas de segunda ordem:
fxx=12x^2y-12xy^2, fxy=4x^3-12x^2y, fyy=-4x^3

Passo 5

Avaliando em P=(-1,2): com x=-1, y=2 vem
fxx(P)=12cdot1cdot2-12cdot(-1)cdot4=24+48=72,
fxy(P)=4(-1)^3-12cdot1cdot2=-4-24=-28,
fyy(P)=-4(-1)^3=4
A hessiana é a matriz
Hf(P)=fxx(P)&fxy(P)fxy(P)&fyy(P)=72&-28-28&4

Resposta

(b) As segundas derivadas em P=(1,1,1) são:
fxx=-1/36, fxy=-1/18, fxz=-1/12, fyy=-1/9, fyz=-1/6, fzz=-1/4.
(a) A hessiana em P=(-1,2) é 72 & -28 -28 & 4.

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