Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
no ponto
. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=x4y–2x3y^2 no ponto P=(–1,2). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e vamos precisar usar a definição de derivada parcial (derivar tratando uma variável de cada vez) e aplicar as regras usuais de derivação (potência e produto).
Passo 2
Primeiro, achamos as derivadas parciais de primeira ordem. Tratando y como constante,
e tratando x como constante,
Passo 3
Agora derivamos novamente para obter as segundas derivadas. Derivando f_x em relação a x e y:
Passo 4
Como f é C^2, f_{yx}=f_{xy}, mas podemos checar: derivando f_y em x dá o mesmo. Por fim, derivando f_y em y:
Passo 5
Basta agora avaliar todas no ponto P=(–1,2):
Resposta
As derivadas de segunda ordem em P são: f_{xx}(−1,2)=72, f_{xy}(−1,2)=f_{yx}(−1,2)=−28 e f_{yy}(−1,2)=4.