Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2, P=(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=x4y–2x3y^2 no ponto P=(–1,2). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e vamos precisar usar a definição de derivada parcial (derivar tratando uma variável de cada vez) e aplicar as regras usuais de derivação (potência e produto).

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas parciais de primeira ordem. Tratando y como constante,
fx(x,y)=partialpartial xl(x^4yr) - partialpartial xl(2x^3y^2r)=4x^3y - 6x^2y^2,
e tratando x como constante,
fy(x,y)=partialpartial yl(x^4yr)-partialpartial yl(2x^3y^2r)=x^4 -4x^3y

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter as segundas derivadas. Derivando f_x em relação a x e y:
fxx(x,y)=partialpartial x(4x^3y -6x^2y^2)=12x^2y -12xy^2,
fxy(x,y)=partialpartial y(4x^3y -6x^2y^2)=4x^3 -12x^2y

Passo 4

Como f é C^2, f_{yx}=f_{xy}, mas podemos checar: derivando f_y em x dá o mesmo. Por fim, derivando f_y em y:
fyy(x,y)=partialpartial y(x^4 -4x^3y)=-4x^3

Passo 5

Basta agora avaliar todas no ponto P=(–1,2):
fxx(-1,2)=12cdot1cdot2 -12cdot(-1)cdot4=24+48=72,
fxy(-1,2)=4cdot(-1)^3 -12cdot(-1)^2cdot2=-4-24=-28,
fyx(-1,2)=-28(coincide com fxy),
fyy(-1,2)=-4cdot(-1)^3=4

Resposta

As derivadas de segunda ordem em P são: f_{xx}(−1,2)=72, f_{xy}(−1,2)=f_{yx}(−1,2)=−28 e f_{yy}(−1,2)=4.

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