Calcule os limites a seguir:
d) lim x +infty[x ln 2-ln (3^x+1)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyl[xln2 - ln(3^x+1)r]. Isso envolve limites de funções com logaritmos e exponenciais. Vamos usar propriedades de logaritmo e analisar o comportamento para grandes x.

Passo 2

Observamos que podemos fatorar 3^x dentro do logaritmo:
ln(3^x + 1) = lnl(3^x(1 + 3^-x)r) = xln3 + ln(1 + 3^-x)

Passo 3

Substituindo na expressão original temos:
xln2 - ln(3^x + 1) = xln2 - l(xln3 + ln(1 + 3^-x)r) = xl(ln2 - ln3r) - ln(1 + 3^-x)

Passo 4

Agora analisamos os termos separadamente:
  • Como ln2 - ln3 = ln(2/3) < 0, o termo xln(2/3) tende a -infty quando xto+infty.
  • Como 3^-xto0, temos ln(1+3^-x)to0.

Resposta

-\infty

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