Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(t)=t^2-1 e y(t)=t^3+1.
(b) Use a regra da cadeia para calcular d f / d t em termos das variáveis originais e de t.

Passo 1

A gente tem a função de duas variáveis f(x,y)=x^2+2xy-3y^2 e a parametrização x(t)=t^2-1, y(t)=t^3+1. O que a gente quer é df/dt usando a regra da cadeia, ou seja, vamos precisar das derivadas parciais de f e das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x+2y, partial fpartial y=2x-6y

Passo 3

Agora, derivamos a parametrização:
dxdt=2t, dydt=3t^2

Passo 4

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia:
dfdt=partial fpartial xdxdt+partial fpartial ydydt
Substituindo os resultados acima, obtemos:
dfdt=(2x+2y)cdot(2t)+(2x-6y)cdot(3t^2)

Resposta

dfdt=(2x+2y)(2t)+(2x-6y)(3t^2)

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