Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
no ponto
. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função
no ponto
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções racionais e depois avaliar as derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
.
-
Derivada parcial de
em relação a ( ): A função é. Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. Usamos a regra do quociente: -
Derivada parcial de
em relação a ( ): Agora, derivamos em relação a:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
.
-
Segunda derivada parcial em relação a
( ): Vamos derivarnovamente em relação a : -
Segunda derivada parcial mista (
): Vamos derivarem relação a : Simplificando: -
Segunda derivada parcial em relação a
( ): Vamos derivarem relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
no ponto
são: