Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=y2 x+3 y, P=(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções racionais e depois avaliar as derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de fx = ddx(y2x + 3y) = 0 cdot (2x + 3y) - y cdot 2(2x + 3y)^2 = -2y(2x + 3y)^2 em relação a fy = ddy(y2x + 3y) = (1)(2x + 3y) - y cdot 3(2x + 3y)^2 = 2x + 3y - 3y(2x + 3y)^2 = 2x(2x + 3y)^2 e .
  • Derivada parcial de em relação a ( ):
    A função é . Para derivar em relação a , tratamos como uma constante.
    Usamos a regra do quociente:
  • Derivada parcial de em relação a ( ):
    Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: fxx = ddx(-2y(2x + 3y)^2) = -2y cdot -4(2x + 3y)^3 = 8y(2x + 3y)^3 , fxy = ddy(-2y(2x + 3y)^2) = -2(2x + 3y)^2 + 12y(2x + 3y)^3 e fxy = -2(2x + 3y) + 12y(2x + 3y)^3 = -4x -6y +12y(2x + 3y)^3 = -4x +6y(2x + 3y)^3 .
  • Segunda derivada parcial em relação a fyy = ddy(2x(2x + 3y)^2) = 2x cdot -6(2x + 3y)^3 = -12x(2x + 3y)^3 ( ):
    Vamos derivar novamente em relação a :
  • Segunda derivada parcial mista ( ):
    Vamos derivar em relação a :
    Simplificando:
  • Segunda derivada parcial em relação a ( ):
    Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto fxx(0, 1) = 8 cdot 1(2 cdot 0 + 3 cdot 1)^3 = 83^3 = 827 .
  • Para fxy(0, 1) = -4 cdot 0 + 6 cdot 1(2 cdot 0 + 3 cdot 1)^3 = 63^3 = 627 = 29 :
    fyy(0, 1) = -12 cdot 0(2 cdot 0 + 3 cdot 1)^3 = 0
  • Para :
  • Para :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função fxx(0, 1) = 827, fxy(0, 1) = 29, fyy(0, 1) = 0 no ponto são:

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