Encontre a soma da série.
sumn=1^infty 2^-n 3^n-1

Passo 1

O enunciado pede para somar a série infinita sumn=1^infty 2^-n3^n-1. O conteúdo é séries infinitas e, mais precisamente, séries geométricas, pois vamos precisar reconhecer uma razão constante entre termos consecutivos.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de forma a evidenciar a razão geométrica. Note que
2^-n3^n-1=3^n-12^n=12;3^n-12^n-1=12l(32r)^n-1

Passo 3

Aqui temos uma série geométrica com termo inicial a=tfrac12 e razão r=tfrac32. Em outras palavras,
sumn=1^infty2^-n3^n-1=sumk=0^infty12l(32r)^k, onde fizemos k=n-1.
Para uma série geométrica infinita sumk=0^inftya,r^k convergir, é preciso ter |r|<1. Aqui temos r=tfrac32, que é maior que 1, então a série não converge.

Passo 4

Como a razão em valor absoluto é maior que 1, a soma da série não existe (ela diverge).

Resposta

A série diverge (não possui soma finita).

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