Use o Teorema (11.15) para achar todos os valores de
para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para achar os valores de
em que ela converge e também a soma. O conteúdo é séries de potências (séries geométricas) e vamos usar o Teorema 11.15 sobre convergência de séries de potências.
Passo 2
Observe que podemos reescrever a série como
que é uma série geométrica de razão
. Pelo Teorema 11.15, o raio de convergência é dado por
logo ela converge absolutamente se
Para
, temos oscilações (
dá
e
dá
), então diverge.
Passo 3
Para
, usamos a soma da série geométrica
com
. Assim,
Passo 4
Portanto, concluímos os valores de convergência e a soma da série.
Resposta
A série converge se e somente se |x|<1, e para esses x sua soma é
.