Use o Teorema (11.15) para achar todos os valores de x para os quais a série é convergente e ache a soma da série.
1-x+x^2-x^3+ldots+(-1)^n+1 x^n+ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a série
1 - x + x^2 - x^3 + cdots + (-1)^n x^n + cdots
e pede para achar os valores de x em que ela converge e também a soma. O conteúdo é séries de potências (séries geométricas) e vamos usar o Teorema 11.15 sobre convergência de séries de potências.

Passo 2

Observe que podemos reescrever a série como
sumn=0^infty(-1)^n x^n
que é uma série geométrica de razão r = -x. Pelo Teorema 11.15, o raio de convergência é dado por
R = 1limsupntoinftyraiz[n]|an| = 1,
logo ela converge absolutamente se
|x| < 1
Para |x| = 1, temos oscilações ( x=1 1-1+1-1+cdots e x=-1 1+1+1+cdots), então diverge.

Passo 3

Para |x|<1, usamos a soma da série geométrica
sumn=0^infty r^n = 11-r
com r = -x. Assim,
sumn=0^infty(-1)^n x^n = 11 - (-x) = 11 + x

Passo 4

Portanto, concluímos os valores de convergência e a soma da série.

Resposta

A série converge se e somente se |x|<1, e para esses x sua soma é 11+x.

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