Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita:
O objetivo é usar séries que a gente já conhece, que podem ser convergentes ou divergentes, junto com o Teorema (11.20) ou (11.21), para determinar se essa série toda converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos descobrir qual é a sua soma.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries infinitas, como séries telescópicas e o teste da divergência. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em dois termos diferentes:
Isso facilita a análise, porque agora temos duas séries para investigar separadamente.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
Essa é uma série telescópica. Para ver isso, podemos fazer uma decomposição em frações parciais:
Assim, a série fica:
Quando somamos os termos dessa série, muitos termos se cancelam, sobrando apenas os primeiros termos. No limite, essa série converge para 1.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série:
Essa é a série harmônica multiplicada por 4. Sabemos que a série harmônica:
é uma série divergente, ou seja, ela não converge para nenhum número finito.
Passo 5
Com isso, voltamos à série original:
Como uma das séries diverge para infinito, o resultado final também diverge.
Resposta
A série diverge.