Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
sumn=1^infty[1n(n+1)-4n]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita:
sumn=1^infty[1n(n+1) - 4n]
O objetivo é usar séries que a gente já conhece, que podem ser convergentes ou divergentes, junto com o Teorema (11.20) ou (11.21), para determinar se essa série toda converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos descobrir qual é a sua soma.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries infinitas, como séries telescópicas e o teste da divergência. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em dois termos diferentes:
sumn=1^infty1n(n+1) e sumn=1^infty4n
Isso facilita a análise, porque agora temos duas séries para investigar separadamente.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série:
sumn=1^infty1n(n+1)
Essa é uma série telescópica. Para ver isso, podemos fazer uma decomposição em frações parciais:
1n(n+1) = 1n - 1n+1
Assim, a série fica:
sumn=1^infty(1n - 1n+1)
Quando somamos os termos dessa série, muitos termos se cancelam, sobrando apenas os primeiros termos. No limite, essa série converge para 1.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série:
sumn=1^infty4n = 4 sumn=1^infty1n
Essa é a série harmônica multiplicada por 4. Sabemos que a série harmônica:
sumn=1^infty1n
é uma série divergente, ou seja, ela não converge para nenhum número finito.

Passo 5

Com isso, voltamos à série original:
sumn=1^infty[1n(n+1) - 4n] = (sumn=1^infty1n(n+1)) - (sumn=1^infty4n) = 1 - (4 times infty) = -infty
Como uma das séries diverge para infinito, o resultado final também diverge.

Resposta

A série diverge.

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