Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f. Sugestão. Utilize o exercício P1.
Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
f(x, y, z)=x^{3} y z^{2}+3 x^{2} y^{2} z^{2}-5 y^{3} z^{3}, P=(1,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y,z)=x^{3}yz^{2}+3x^{2}y^{2}z^{2}-5y^{3}z^{3}
no ponto P=(1,0,-1). O conteúdo aqui é diferenciação parcial usando regra do produto e potência, aplicadas duas vezes para atingir a segunda ordem.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Para f_x tomamos y e z como constantes e aplicamos produto e potência:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^3yz^2\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^2y^2z^2\bigr) =3x^2yz^2+6xy^2z^2.
Para f_y:
f_y = x^3z^2 +6x^2yz^2 -15y^2z^3,
e para f_z:
f_z = 2x^3yz +6x^2y^2z -15y^3z^2.

Passo 3

Agora derivamos de novo para obter as parciais de segunda ordem envolvendo x e y:
Para f_{xx} derivamos f_x em relação a x:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^2yz^2+6xy^2z^2\bigr) =6x\,y\,z^2+6\,y^2\,z^2.
Para f_{xy} derivamos f_x em relação a y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^2yz^2+6xy^2z^2\bigr) =3x^2z^2+12x\,y\,z^2.
Para f_{xz} derivamos f_x em relação a z:
f_{xz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(3x^2yz^2+6xy^2z^2\bigr) =6x^2y\,z+12x\,y^2\,z.

Passo 4

Agora as segundas ordens que envolvem y e z:
Para f_{yy} derivamos f_y em relação a y:
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3\bigr) =6x^2z^2-30y\,z^3.
Para f_{yz} derivamos f_y em relação a z:
f_{yz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3\bigr) =2x^3z+12x^2y\,z-45y^2z^2.
Para f_{zz} derivamos f_z em relação a z:
f_{zz} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(2x^3yz+6x^2y^2z-15y^3z^2\bigr) =2x^3y+6x^2y^2-30y^3z.

Passo 5

Finalmente, avaliamos cada uma dessas expressões em P=(1,0,-1). Note que em P temos x=1, y=0, z=-1, z^2=1, z^3=-1:
f_{xx}(1,0,-1)=6\cdot1\cdot0\cdot1+6\cdot0^2\cdot1=0
f_{xy}(1,0,-1)=3\cdot1^2\cdot1+12\cdot1\cdot0\cdot1=3
f_{xz}(1,0,-1)=6\cdot1^2\cdot0\cdot(-1)+12\cdot1\cdot0^2\cdot(-1)=0
f_{yy}(1,0,-1)=6\cdot1^2\cdot1-30\cdot0\cdot(-1)^3=6
f_{yz}(1,0,-1)=2\cdot1^3\cdot(-1)+12\cdot1^2\cdot0\cdot(-1)-45\cdot0^2\cdot1=-2
f_{zz}(1,0,-1)=2\cdot1^3\cdot0+6\cdot1^2\cdot0^2-30\cdot0^3\cdot(-1)=0

Resposta

f_{xx}(1,0,-1)=0
f_{xy}(1,0,-1)=3
f_{xz}(1,0,-1)=0
f_{yy}(1,0,-1)=6
f_{yz}(1,0,-1)=-2
f_{zz}(1,0,-1)=0

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