Em cada item, verifique que a função z é solução da equação diferencial parcial.
2 y \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=x \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}, z=x^{3}+2 x^{2} y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
z(x,y)=x^{3}+2x^{2}y^{2}
é solução da equação diferencial parcial
2\,y\,\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = x\,\frac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e substituição na PDE para checar se ambos os lados coincidem.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas em relação a y.
Derivando uma vez,
z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+2x^{2}y^{2}\bigr) =4x^{2}y.
Derivando segunda vez,
z_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2}y) =4x^{2}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas mistas. Primeiro em x,
z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+2x^{2}y^{2}\bigr) =3x^{2}+4xy^{2}.
Em seguida derivamos esse resultado em y,
z_{yx}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+4xy^{2}) =8x\,y.

Passo 4

Substituímos na equação 2y\,z_{yy}=x\,z_{yx}:
2y\,z_{yy} =2y\cdot(4x^{2}) =8x^{2}y,
x\,z_{yx} =x\cdot(8x\,y) =8x^{2}y.
Como os dois lados são iguais ( 8x^{2}y), a função satisfaz a PDE.

Resposta

A função z(x,y)=x^{3}+2x^{2}y^{2} é solução de
2\,y\,\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = x\,\frac{\partial^{2}z}{\partial y\,\partial x}.

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