Em cada item, determine o diferencial df da função f. Sugestão. Utilize as derivadas já calculadas no exercício P1.
f(x, y)=e^x-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o diferencial da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde a gente usa derivadas parciais para descobrir como pequenas variações em e afetam a função. Vamos usar as derivadas que calculamos no exercício P1 para te ajudar nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o diferencial df = partial fpartial x dx + partial fpartial y dy . Ele nos dá uma aproximação de como a função muda quando e mudam um pouquinho. A fórmula geral para o diferencial é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. e representam as pequenas mudanças em e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x ( e^x - y ) = e^x - y .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Porque a derivada de em relação a é vezes a derivada de , e aqui , cuja derivada em relação a é 1.

Passo 4

Em seguida, a derivada parcial em relação a partial fpartial y = partialpartial y ( e^x - y ) = -e^x - y :
Aqui, a derivada de em relação a é -1, então multiplicamos pelo .

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituir na fórmula do diferencial:
df = ( e^x - y ) dx + ( -e^x - y ) dy
Simplificando, fica:
df = e^x - y dx - e^x - y dy

Resposta

O diferencial da função df = e^x - y , dx - e^x - y , dy é:

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