Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função f em (x0, y0).
f(x, y)=raizx^2+y^2,(x0, y0)=(3,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o plano tangente ao gráfico da função no ponto . Aqui, estamos lidando com derivadas parciais e geometria analítica para determinar o plano que “toca” a superfície exatamente nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor de f(3, 4) = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 no ponto . Substituindo os valores na função:
Então, o ponto de tangência no espaço é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x raizx^2 + y^2 = xraizx^2 + y^2 em relação a fy(x, y) = partialpartial y raizx^2 + y^2 = yraizx^2 + y^2 e . A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto fx(3, 4) = 3raiz3^2 + 4^2 = 35 :
fy(3, 4) = 4raiz3^2 + 4^2 = 45

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) é:
z = 5 + 35(x - 3) + 45(y - 4)
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
z = 5 + 35x - 95 + 45y - 165
z = 35x + 45y - 255 + 5
z = 35x + 45y

Resposta

O plano tangente ao gráfico da função z = 35x + 45y no ponto é dado por:

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