Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função
em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Aqui, estamos lidando com derivadas parciais e geometria analítica para determinar o plano que “toca” a superfície exatamente nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e então usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor de
no ponto
. Substituindo os valores na função:
Então, o ponto de tangência no espaço é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
O plano tangente ao gráfico da função
no ponto
é dado por: