(a) Mostre que a área de uma região fechada e limitada D do plano x y pode ser obtida através da seguinte integral de linha:
Área(D)=ointpartial D x d y Á
(b) Use (a) para calcular a área da região limitada pelo eixo y, pelas retas y=1, y=3, e pela curva x=y^2.

Passo 1

O enunciado pede (a) demonstrar que para uma região fechada D no plano xy a área de D pode ser obtida pela integral de linha ointpartial Dx,dy, e (b) usar esse resultado para calcular a área da região limitada pelo eixo y, pelas retas y=1, y=3 e pela curva x=y^2. Vamos precisar do Teorema de Green e de parametrizar a fronteira de D.

Passo 2

Para provar a fórmula de área via integral de linha, consideramos o Teorema de Green: se P(x,y) e Q(x,y) são funções com derivadas parciais contínuas em D, então ointpartial DP,dx+Q,dy=integral duplaD(partialxQ-partialyP),dA. Escolhendo P=0 e Q=x, temos partialxQ=1 e partialyP=0, logo
ointpartial Dx,dy=integral duplaD1,dA=Área(D)Á

Passo 3

Para aplicar em (b), descrevemos a fronteira partial D orientada positivamente (sentido anti-horário) em quatro trechos:
  1. curva parabólica C1: x=y^2, y varia de 1 a 3.
  2. segmento horizontal C2 em y=3 de x=9 até x=0.
  3. segmento vertical C3 em x=0 de y=3 até y=1.
  4. segmento horizontal C4 em y=1 de x=0 até x=1.

Passo 4

Agora calculamos ointpartial Dx,dy=sumi=1^4integralCix,dy:
  • Em C1, com parâmetro y, temos x=y^2 e dy=dy, então
integralC1x,dy=integraly=1^3y^2,dy=l[tfracy^33r]1^3=27-13=263

Passo 5

  • Nos trechos C2, C3 e C4, ou dy=0 ou x=0, logo cada integral é zero.
    Somando, obtemos ointpartial Dx,dy=tfrac263, que é a área de D.

Resposta

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