(a) Mostre que a área de uma região fechada e limitada
do plano
pode ser obtida através da seguinte integral de linha:
(b) Use (a) para calcular a área da região limitada pelo eixo
, pelas retas
, e pela curva
.
Passo 1
O enunciado pede (a) demonstrar que para uma região fechada D no plano xy a área de D pode ser obtida pela integral de linha
, e (b) usar esse resultado para calcular a área da região limitada pelo eixo y, pelas retas
,
e pela curva
. Vamos precisar do Teorema de Green e de parametrizar a fronteira de D.
Passo 2
Para provar a fórmula de área via integral de linha, consideramos o Teorema de Green: se
e
são funções com derivadas parciais contínuas em D, então
. Escolhendo
e
, temos
e
, logo
Passo 3
Para aplicar em (b), descrevemos a fronteira
orientada positivamente (sentido anti-horário) em quatro trechos:
- curva parabólica
: varia de 1 a 3. - segmento horizontal
em de até . - segmento vertical
em de até . - segmento horizontal
em de até .
Passo 4
Agora calculamos
:
- Em
, com parâmetro , temos e , então
Passo 5
- Nos trechos
, e , ou ou , logo cada integral é zero.
Somando, obtemos, que é a área de D.