Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função f em (x0, y0).
f(x, y)=2 x^2+y^2-5 y,(x0, y0)=(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o plano tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar as inclinações do plano naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função f(1, 2) = 2(1)^2 + (2)^2 - 5(2) = 2 + 4 - 10 = -4 no ponto . Isso vai nos dar a altura do gráfico nesse ponto, que é essencial para montar a equação do plano tangente.
Então, o ponto no espaço é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x(2x^2 + y^2 - 5y) = 4x em relação a fy(x, y) = partialpartial y(2x^2 + y^2 - 5y) = 2y - 5 e . Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções de e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto fx(1, 2) = 4(1) = 4 :
fy(1, 2) = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1

Passo 5

Com as derivadas parciais e o valor da função no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que encontramos:
z = -4 + 4(x - 1) -1(y - 2)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais clara:
z = -4 + 4x - 4 - y + 2
z = 4x - y - 6

Resposta

O plano tangente ao gráfico da função z = 4x - y - 6 no ponto é dado por:

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