Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função
em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar as inclinações do plano naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
no ponto
. Isso vai nos dar a altura do gráfico nesse ponto, que é essencial para montar a equação do plano tangente.
Então, o ponto no espaço é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções de
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais e o valor da função no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais clara:
Resposta
O plano tangente ao gráfico da função
no ponto
é dado por: