Em cada item, determine o diferencial df da função f. Sugestão. Utilize as derivadas já calculadas no exercício P1.
f(x, y)=e^x cos (x y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o diferencial da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de diferenciais e derivadas parciais. Precisamos lembrar como calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis e, depois, montar o diferencial usando essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diferencial df = partial fpartial x dx + partial fpartial y dy . Para uma função de duas variáveis , o diferencial é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = e^x cos(xy) em relação a partial fpartial x = ddx(e^x) cdot cos(xy) + e^x cdot ddx(cos(xy)) , ou seja, ddx(e^x) = e^x .
ddx(cos(xy)) = -sin(xy) cdot y
Para derivar em relação a partial fpartial x = e^x cos(xy) - e^x y sin(xy) , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
partial fpartial x = e^x ( cos(xy) - y sin(xy) )
Calculando cada parte:
Então:
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = e^x cos(xy) em relação a partial fpartial y = e^x cdot ddy(cos(xy)) , ou seja, ddy(cos(xy)) = -sin(xy) cdot x .
partial fpartial y = -e^x x sin(xy)
Aqui, é uma constante em relação a , então:
Usando a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o diferencial df = partial fpartial x dx + partial fpartial y dy usando a fórmula:
df = e^x ( cos(xy) - y sin(xy) ) dx - e^x x sin(xy) dy
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

O diferencial da função df = e^x ( cos(xy) - y sin(xy) ) dx - e^x x sin(xy) dy é:

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