Em cada item, determine o diferencial df da função
. Sugestão. Utilize as derivadas já calculadas no exercício P1.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o diferencial
da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de diferenciais e derivadas parciais. Precisamos lembrar como calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis e, depois, montar o diferencial usando essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o diferencial
. Para uma função de duas variáveis
, o diferencial é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para derivar em relação a
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada parte:
Então:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
é uma constante em relação a
, então:
Usando a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o diferencial
usando a fórmula:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Resposta
O diferencial da função
é: