Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função f em (x0, y0).
f(x, y)=(x+2)^2-2(y-1)^2-5,(x0, y0)=(2,3).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de z = f(x,y) para
f(x,y) = (x+2)^2 - 2(y-1)^2 - 5
no ponto (x0,y0)=(2,3). Vamos usar derivadas parciais e a fórmula
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Como f(x,y) = (x+2)^2 - 2(y-1)^2 - 5, temos
fx(x,y) = 2(x+2)

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Para a mesma f(x,y), obtemos
fy(x,y) = -4(y-1)

Passo 4

Avaliamos f, fx e fy no ponto (2,3):
f(2,3) = (2+2)^2 - 2(3-1)^2 - 5 = 16 - 8 - 5 = 3, fx(2,3) = 2cdot4 = 8, fy(2,3) = -4cdot2 = -8

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
z = f(2,3) + fx(2,3)(x-2) + fy(2,3)(y-3) = 3 + 8(x-2) - 8(y-3)

Resposta

z = 3 + 8(x-2) - 8(y-3)

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