Para cada item, determine o domínio e calcule a função derivada. (Não esqueça de mencionar a regra de derivação utilizada em cada caso).
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função $ g(x) = \frac{x^{3}}{\ln x} $. Precisamos determinar o domínio dessa função e calcular sua derivada. Para isso, vamos utilizar conceitos de domínio de funções e a regra do quociente para derivação.
Passo 2
Determinação do domínio:
- Logaritmo Natural ($ \ln x $): O logaritmo natural está definido apenas para $ x > 0 $.
- Denominador ($ \ln x $): Além de $ x $ precisar ser positivo, o denominador não pode ser zero, ou seja, $ \ln x \neq 0 $.
Resolvendo $ \ln x = 0 $:
Portanto, o domínio de $ g(x) $ é:
Em notação de intervalo:
Passo 3
Cálculo da derivada usando a regra do quociente:
A função é da forma $ \frac{u}{v} $, onde:
A regra do quociente para derivadas é:
Vamos calcular $ u’ $ e $ v’ $:
- Derivada de $ u $ ($ u’ $):
- Derivada de $ v $ ($ v’ $):
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo $ u $, $ u’ $, $ v $ e $ v’ $:
Simplificando:
Resposta
O domínio de $ g(x) = \frac{x^{3}}{\ln x} $ é $ x > 0 $ e $ x \neq 1 $.
A derivada de $ g(x) $ é: