Para cada item, determine o domínio e calcule a função derivada. (Não esqueça de mencionar a regra de derivação utilizada em cada caso).
g(x)=x^3ln x

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função $ g(x) = \frac{x^{3}}{\ln x} $. Precisamos determinar o domínio dessa função e calcular sua derivada. Para isso, vamos utilizar conceitos de domínio de funções e a regra do quociente para derivação.

Passo 2

Determinação do domínio:
  1. Logaritmo Natural ($ \ln x $): O logaritmo natural está definido apenas para $ x > 0 $.
  2. Denominador ($ \ln x $): Além de $ x $ precisar ser positivo, o denominador não pode ser zero, ou seja, $ \ln x \neq 0 $.
Resolvendo $ \ln x = 0 $:
ln x
Portanto, o domínio de $ g(x) $ é:
x > 0
Em notação de intervalo:
ln x

Passo 3

Cálculo da derivada usando a regra do quociente:
A função é da forma $ \frac{u}{v} $, onde:
uv
u = x^3
A regra do quociente para derivadas é:
v = ln x
Vamos calcular $ u’ $ e $ v’ $:
  1. Derivada de $ u $ ($ u’ $):
( uv )' = u'v - uv'v^2
  1. Derivada de $ v $ ($ v’ $):
u'

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
g'(x) = u'v - uv'v^2
Substituindo $ u $, $ u’ $, $ v $ e $ v’ $:
u
Simplificando:
u'
v

Resposta

O domínio de $ g(x) = \frac{x^{3}}{\ln x} $ é $ x > 0 $ e $ x \neq 1 $.
A derivada de $ g(x) $ é:
g(x) = x^3ln x

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