Useo Teorema Fundamental do Calculo para encontrar o valor da integral abaixo explique se esse valor é ou nāo a área da região entre o gráfico e o eixo x.
integrale^e^2 x^3+1x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integrale^e^2(x^3+1/x),dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo envolvido é encontrar antiderivadas e aplicar a propriedade de diferença de valores de uma primitiva.

Passo 2

Para integrar x^3, usamos a regra de potência: integral x^n,dx = x^n+1/(n+1)+C. Assim, integral x^3,dx = x^4/4 + C.

Passo 3

Para integrar 1/x, lembramos que integral 1/x,dx = ln|x| + C. Então uma primitiva de x^3 + 1/x é
F(x) = x^44 + ln|x|

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
$$\int_e{e2}(x^3+1/x),dx = F(e^2) - F(e).
$$
Calculando integrale^e^2(x^3+1/x),dx = F(e^2) - F(e) e F(e^2) = (e^2)^4/4 + ln(e^2) = e^8/4 + 2.

Passo 5

Subtraindo esses valores, obtemos
F(e^2) - F(e) = e^84 + 2 - l(e^44 + 1r) = e^8 - e^44 + 1

Passo 6

Como em todo o intervalo [e,e^2] o integrando x^3 + 1/x é positivo, o valor calculado coincide com a área sob a curva entre o gráfico e o eixo x.

Resposta

e^8 - e^44 + 1, e sim: como x^3 + 1/x > 0 em [e,e^2], esse valor representa a área sob o gráfico.

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