Considere as constantes
e
. Resolva a equação diferencial ordinária de
ordem homogênea de coeficientes constantes,
, para estes valores de
e
. Em seguida, encontre a solução do PVI com condições iniciais
e
e responda se, a longo prazo (isto é, para valores de
bem grandes), seu capital
será pequeno, será grande, ou não irá mudar muito se estabilizando.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
a gente vai resolver
a gente vai resolver
nosso caso é
Passo 2
Equação característica: substituindo
a EDO vira
ou seja
Passo 3
Cálculo das raízes: pelo discriminante
Como
, as raízes são complexas conjugadas
Passo 4
Solução geral: para raízes
a solução é
Aqui
e
, então
Passo 5
Condições iniciais: imposto
e
.
- Em
: - Derivando e avaliando em 0 dá
Substituindo
resulta em
, logo
.
Assim
Assim
Passo 6
Comportamento a longo prazo: o fator
cresce exponencialmente, então
cresce sem limite, apesar das oscilações.
Resposta
A solução do PVI é
e a longo prazo o capital