Considere as constantes alpha=-7 e beta=30. Resolva a equação diferencial ordinária de 2^ a ordem homogênea de coeficientes constantes, ddoty+alpha doty+beta y=0, para estes valores de alpha e beta. Em seguida, encontre a solução do PVI com condições iniciais y(0)=2 e doty(0)=7 e responda se, a longo prazo (isto é, para valores de t bem grandes), seu capital y(t) será pequeno, será grande, ou não irá mudar muito se estabilizando.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
a gente vai resolver
ddot y+alphadot y+beta y=0
nosso caso é alpha=-7 e beta=30.

Passo 2

Equação característica: substituindo y=e^rt a EDO vira
r^2+alpha r+beta=0
ou seja
r^2-7r+30=0

Passo 3

Cálculo das raízes: pelo discriminante
De
Como De, as raízes são complexas conjugadas
r = 72 pm iraiz712

Passo 4

Solução geral: para raízes apm i,b a solução é
y(t)=e^atl(C1cos(bt)+C2sin(bt)r)
Aqui a=7/2 e b=raiz71/2, então
y(t)=e^tfrac72tl(C1cos(tfracraiz712t)+C2sin(tfracraiz712t)r)

Passo 5

Condições iniciais: imposto y(0)=2 e dot y(0)=7.
  • Em t=0: y(0)=C1=2
  • Derivando e avaliando em 0 dá
dot y(0)=72C1 + raiz712C2 =7
Substituindo C1=2 resulta em 7 + (raiz71/2)C2=7, logo C2=0.
Assim
y(t)=2e^tfrac72tcosl(tfracraiz712tr)

Passo 6

Comportamento a longo prazo: o fator e^tfrac72t cresce exponencialmente, então y(t) cresce sem limite, apesar das oscilações.

Resposta

A solução do PVI é
y(t)=2e^tfrac72tcosl(tfracraiz712tr)
e a longo prazo o capital y(t) cresce sem limite (fica grande) devido ao termo exponencial positivo.

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