Expresse, a partir de integrais duplas, as equações que determinam a carga elétrica total
, as coordenadas (
) do centro de massa e a massa
, e momento de inércia da lâmina em relação ao eixo
, o momento de inércia em relação ao eixo y
e o momento de inércia em relação à origem
. Atente-se para informar o significado de cada variável utilizada nas equaçöes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever, usando integrais duplas, as equações que determinam:
- A carga elétrica total
. - As coordenadas do centro de massa
. - A massa total
. - Os momentos de inércia em relação aos eixos
e , além da origem, ou seja, , e .
Vamos precisar entender conceitos de carga elétrica, massa, centro de massa e momento de inércia, além de saber usar integrais duplas para calcular essas quantidades em uma lâmina (uma superfície bidimensional).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga elétrica total
. Para isso, precisamos saber a densidade de carga superficial, que chamaremos de
. Essa função nos diz quanta carga há por unidade de área em cada ponto da lâmina.
A carga total
é a soma de todas as cargas em cada ponto da lâmina. Para somar isso, usamos uma integral dupla sobre a região
da lâmina:
Aqui,
representa um elemento de área infinitesimal na lâmina.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa
. O centro de massa é o ponto onde podemos dizer que toda a massa da lâmina está concentrada.
Primeiro, precisamos da massa total
. Se a densidade de massa superficial for
, a massa total é:
Depois, as coordenadas do centro de massa são calculadas usando:
Aqui,
e
são as coordenadas de cada ponto na lâmina.
Passo 4
Vamos para os momentos de inércia. Esses quantos medem o quanto a massa está distribuída em relação a um eixo ou ponto, influenciando como a lâmina resiste a rotações.
O momento de inércia em relação ao eixo
(
) é dado por:
Da mesma forma, o momento de inércia em relação ao eixo
(
) é:
E o momento de inércia em relação à origem
combina os dois:
Resposta
As equações que determinam a carga elétrica total
, as coordenadas do centro de massa
, a massa total
, e os momentos de inércia
,
e
são:
Onde:
-
é a densidade de carga superficial. -
é a densidade de massa superficial. -
são as coordenadas de pontos na lâmina. -
é a região ocupada pela lâmina.