Expresse, a partir de integrais duplas, as equações que determinam a carga elétrica total Q, as coordenadas ( barx, bary ) do centro de massa e a massa (m), e momento de inércia da lâmina em relação ao eixo times(Ix), o momento de inércia em relação ao eixo y (Iy) e o momento de inércia em relação à origem (I0). Atente-se para informar o significado de cada variável utilizada nas equaçöes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever, usando integrais duplas, as equações que determinam:
  1. A carga elétrica total .
  2. As coordenadas do centro de massa .
  3. A massa total .
  4. Os momentos de inércia em relação aos eixos e , além da origem, ou seja, , e .
Vamos precisar entender conceitos de carga elétrica, massa, centro de massa e momento de inércia, além de saber usar integrais duplas para calcular essas quantidades em uma lâmina (uma superfície bidimensional).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga elétrica total Q = integral duplaR sigma(x, y) , dA . Para isso, precisamos saber a densidade de carga superficial, que chamaremos de . Essa função nos diz quanta carga há por unidade de área em cada ponto da lâmina.
A carga total é a soma de todas as cargas em cada ponto da lâmina. Para somar isso, usamos uma integral dupla sobre a região da lâmina:
Aqui, representa um elemento de área infinitesimal na lâmina.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa m = integral duplaR rho(x, y) , dA . O centro de massa é o ponto onde podemos dizer que toda a massa da lâmina está concentrada.
Primeiro, precisamos da massa total barx = 1m integral duplaR x rho(x, y) , dA . Se a densidade de massa superficial for bary = 1m integral duplaR y rho(x, y) , dA , a massa total é:
Depois, as coordenadas do centro de massa são calculadas usando:
Aqui, e são as coordenadas de cada ponto na lâmina.

Passo 4

Vamos para os momentos de inércia. Esses quantos medem o quanto a massa está distribuída em relação a um eixo ou ponto, influenciando como a lâmina resiste a rotações.
O momento de inércia em relação ao eixo Ix = integral duplaR y^2 rho(x, y) , dA ( Iy = integral duplaR x^2 rho(x, y) , dA ) é dado por:
I0 = Ix + Iy = integral duplaR (x^2 + y^2) rho(x, y) , dA
Da mesma forma, o momento de inércia em relação ao eixo ( ) é:
E o momento de inércia em relação à origem combina os dois:

Resposta

As equações que determinam a carga elétrica total Q = integral duplaR sigma(x, y) , dA , as coordenadas do centro de massa m = integral duplaR rho(x, y) , dA , a massa total barx = 1m integral duplaR x rho(x, y) , dA , e os momentos de inércia bary = 1m integral duplaR y rho(x, y) , dA , Ix = integral duplaR y^2 rho(x, y) , dA e Iy = integral duplaR x^2 rho(x, y) , dA são:
I0 = integral duplaR (x^2 + y^2) rho(x, y) , dA
Onde:
  • é a densidade de carga superficial.
  • é a densidade de massa superficial.
  • são as coordenadas de pontos na lâmina.
  • é a região ocupada pela lâmina.

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