Em cada item, determine uma equação geral para o plano que se pede.
Plano que contém as retas
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r: x=-t y=1 z=2-t e s: x=u y=-3 z=u
O conteúdo envolve parametrização de retas, extração de vetores diretores, produto vetorial para achar normal do plano e, por fim, escrever a equação ax+by+cz+d=0.
Passo 2
Extraímos um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para r, escolhemos t=0, obtendo o ponto P0=(0,1,2). O vetor diretor é
vec vr = l(-1,0,-1r)
pois à medida que t varia, De<a(x,y,z)=(-1,0,-1).
Passo 3
Para s, usamos o parâmetro u. Em u=0 temos o ponto Q0=(0,-3,0). O vetor diretor é
vec vs = l(1,0,1r)
Passo 4
Como as retas são paralelas (vec vs = -,vec vr) e não coincidentes, tomamos o vetor que liga Q0 a P0:
vec w = P0 - Q0 = (0,1,2) - (0,-3,0) = (0,4,2)
Passo 5
O vetor normal vec n ao plano é dado pelo produto vetorial
vec n = vec vr times vec w = (-1,0,-1)times(0,4,2) = l(4,2,-4r)
Podemos simplificar dividindo por 2:
vec n = (2,1,-2)
Passo 6
A equação do plano com normal vec n=(2,1,-2) que passa por P0=(0,1,2) é
2,(x-0)+1,(y-1)-2,(z-2)=0
Desenvolvendo e coletando termos, vem
Passo 7
2x + y -1 -2z +4 = 0 Longrightarrow 2x + y -2z +3 = 0
Resposta
A equação geral do plano que contém as retas r e s é