Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty(raiz[n]2-1)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftyl(raiz[n]2-1r)
O conteúdo principal aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da equivalência (ou comparação limite) baseado na expansão de raiz[n]2 para n grande.

Passo 2

Observamos que
raiz[n]2 = 2^1/n = e^(ln 2)/n
Como ntoinfty, podemos usar a expansão de Taylor de e^x em torno de x=0:
e^x = 1 + x + O(x^2)
Substituindo x = tfracln 2n, obtemos
2^1/n = 1 + ln 2n + O!l(tfrac1n^2r)
Logo, o termo geral da série é
an = 2^1/n - 1 = ln 2n + O!l(tfrac1n^2r)

Passo 3

Como
an sim ln 2n,
podemos aplicar o teste de comparação limite com a série harmônica sum 1/n, que diverge. De fato,
limntoinftyan1/n = limntoinftynl(2^1/n-1r) = ln 2,
um número finito e não nulo. Portanto, sum an diverge junto com sum 1/n.

Resposta

A série diverge (é divergente).

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